On considère les points M 1 ( z 1 ) et M 2 ( z 2 ) tels que O , M 1 et M 2 soient deux à deux distincts et non alignés. Soit M ( z ) le point d'affixe z = z 1 + z 2 2 z 1 z 2 . Montrer que z 2 − z z 1 − z × z 1 z 2 = − 1 . En déduire que M appartient au cercle circonscrit au triangle O M 1 M 2 . Montrer que si z 2 = z 1 , alors M appartient à l'axe réel.

Cocyclicité d'un point défini par une moyenne harmonique

Difficile

Énoncé

On considère les points $M_{1} (z_{1})$ et $M_{2} (z_{2})$ tels que $O$ , $M_{1}$ et $M_{2}$ soient deux à deux distincts et non alignés. Soit $M (z)$ le point d'affixe $z = \frac{2 z _{1} z _{2}}{z _{1} + z _{2}}$ .

Montrer que $\frac{z _{1} - z}{z _{2} - z} \times \frac{z _{2}}{z _{1}} = - 1$ .
En déduire que $M$ appartient au cercle circonscrit au triangle $O M_{1} M_{2}$ .
Montrer que si $z_{2} = \overline{z_{1}}$ , alors $M$ appartient à l'axe réel.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, calcule séparément $z_1 - z$ et $z_2 - z$ en réduisant au même dénominateur $z_1+z_2$, tu verras apparaître un facteur commun $(z_1-z_2)$.

2 Indice 2

Fais ensuite le quotient $\dfrac{z_1-z}{z_2-z}$ : le facteur $(z_1-z_2)$ se simplifie.

3 Indice 3

Pour la question 2, pense au birapport de quatre points et au critère de cocyclicité : quatre points sont cocycliques (ou alignés) si et seulement si leur birapport est réel.

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Pour la question 1, calcule séparément $z_{1} - z$ et $z_{2} - z$ en réduisant au même dénominateur $z_{1} + z_{2}$ , tu verras apparaître un facteur commun $(z_{1} - z_{2})$ .

Fais ensuite le quotient $\frac{z _{1} - z}{z _{2} - z}$ : le facteur $(z_{1} - z_{2})$ se simplifie.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Cocyclicité d'un point défini par une moyenne harmonique

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