Transformation z' = (z + 1/z)/2 et lieux géométriques

On considère le point $M$ d'affixe $z$ et le point $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$ (avec $z\ne 0$). Soient $A(1)$ et $B(-1)$.

1. Déterminer les nombres complexes $z$ pour lesquels $M$ et $M^{\prime }$ sont confondus.

2. Pour $M$ distinct de $A$ et $B$, montrer que $\frac{z^{\prime }+1}{z^{\prime }-1}={\left(\frac{z+1}{z-1}\right)}^2$.

3. Soit $(\Delta )$ la médiatrice du segment $[AB]$. Montrer que si $M\in (\Delta )$, alors $M^{\prime }\in (\Delta )$.

4. Soit $(C)$ le cercle de diamètre $[AB]$. Montrer que si $M\in (C)$, alors les points $A$, $B$ et $M^{\prime }$ sont alignés.