Transformation conjuguée et points colinéaires

Pour tout $z$ de $\mathbb{C}\setminus \{i\}$ on pose $f(z)=\frac{\bar{z}(z-i)}{\bar{z}+i}$. On considère les points $A(i)$, $A^{\prime }(-i)$, $M(z)$ et $M^{\prime }(f(z))$.

1. Soit $z\in \mathbb{C}\setminus \{0,i\}$. Montrer que $|f(z)|=|z|$ et $\arg (f(z))\equiv -\arg (z)+2\arg (z-i)[2\pi ]$.

2. Montrer que pour tout $z\in \mathbb{C}\setminus \{i\}$ : $f(z)=-i\iff |z|=1$.

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z)=z$.

4. a) Montrer que $f(z)+i=\frac{|z{|}^2-1}{|z-i{|}^2}(z-i)$ et $f(z)-z=i\frac{2\mathrm{Re}(z)}{|z-i{|}^2}(i-z)$ pour $z\ne i$.
   b) En déduire que $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{A^{\prime }{M}^{\prime }}$ sont colinéaires et que $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{M{M}^{\prime }}$.