On considère le point M d'affixe z et le point M ′ d'affixe z ′ = 2 1 ( z + z 1 ) . Déterminer les nombres complexes z pour lesquels M et M ′ sont confondus. On suppose M distinct des points A et B d'affixes respectives 1 et − 1 . Montrer que z ′ − 1 z ′ + 1 = ( z − 1 z + 1 ) 2 . Soit ( Δ ) la médiatrice du segment [ A B ] . Montrer que si M ∈ ( Δ ) , alors M ′ ∈ ( Δ ) . Soit ( C ) le cercle de diamètre [ A B ] . Montrer que si M ∈ ( C ) , alors les points A , B et M ′ sont alignés.

Transformation z'=(z+1/z)/2 : médiatrice et cercle

Difficile

Énoncé

On considère le point $M$ d'affixe $z$ et le point $M^{'}$ d'affixe $z^{'} = \frac{1}{2} (z + \frac{1}{z})$ .

Déterminer les nombres complexes $z$ pour lesquels $M$ et $M^{'}$ sont confondus.
On suppose $M$ distinct des points $A$ et $B$ d'affixes respectives $1$ et $- 1$ . Montrer que $\frac{z ^{'} + 1}{z ^{'} - 1} = (\frac{z + 1}{z - 1})^{2}$ .
Soit $(Δ)$ la médiatrice du segment $[A B]$ . Montrer que si $M \in (Δ)$ , alors $M^{'} \in (Δ)$ .
Soit $(C)$ le cercle de diamètre $[A B]$ . Montrer que si $M \in (C)$ , alors les points $A$ , $B$ et $M^{'}$ sont alignés.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, pose l'équation $z = z'$ et simplifie en multipliant par $z$ (avec $z \neq 0$) pour obtenir une équation simple sur $z^2$.

2 Indice 2

Pour la question 2, calcule $z'+1$ et $z'-1$ séparément en réduisant au même dénominateur $2z$, factorise chaque numérateur (ce sont des carrés parfaits en $z+1$ et $z-1$).

3 Indice 3

Pour les questions 3 et 4, relie la condition géométrique (médiatrice = égalité de distances, cercle de diamètre = angle droit) à des propriétés du module ou de l'argument du rapport $\frac{z+1}{z-1}$, puis utilise l'identité de la question 2.

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Pour la question 1, pose l'équation $z = z^{'}$ et simplifie en multipliant par $z$ (avec $z \neq = 0$ ) pour obtenir une équation simple sur $z^{2}$ .

Pour la question 2, calcule $z^{'} + 1$ et $z^{'} - 1$ séparément en réduisant au même dénominateur $2 z$ , factorise chaque numérateur (ce sont des carrés parfaits en $z + 1$ et $z - 1$ ).

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