Dans le plan complexe, on considère les points A ( a ) , B ( b ) , C ( c ) tels que a = 3 + i , b = 3 − 1 + ( 3 + 1 ) i et c = − 1 + i 3 . Déterminer la forme trigonométrique de 1 + i et de a . Montrer que b = ( 1 + i ) a , puis déterminer la forme trigonométrique de b . En déduire cos 12 5 π . Vérifier que c = ia et en déduire la nature du triangle O A C . Montrer que le quadrilatère O A B C est un carré.

Carré OABC et calcul de cos(5π/12)

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Dans le plan complexe, on considère les points $A (a)$ , $B (b)$ , $C (c)$ tels que $a = 3 + i$ , $b = 3 - 1 + (3 + 1) i$ et $c = - 1 + i 3$ .

Déterminer la forme trigonométrique de $1 + i$ et de $a$ .
Montrer que $b = (1 + i) a$ , puis déterminer la forme trigonométrique de $b$ . En déduire $cos \frac{5 π}{12}$ .
Vérifier que $c = ia$ et en déduire la nature du triangle $O A C$ .
Montrer que le quadrilatère $O A B C$ est un carré.

Indices

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1 Indice 1

Pour la forme trigonométrique d'un complexe $z$, commence par calculer son module $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$, puis identifie l'angle $\theta$ tel que $\cos\theta=\dfrac{x}{|z|}$ et $\sin\theta=\dfrac{y}{|z|}$.

2 Indice 2

Pour montrer que $b=(1+i)a$, développe le produit $(1+i)(\sqrt{3}+i)$ en utilisant la distributivité et $i^2=-1$. Ensuite, pour la forme trigonométrique de $b$, multiplie les modules et additionne les arguments de $1+i$ et $a$.

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Pour la forme trigonométrique d'un complexe $z$ , commence par calculer son module $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ , puis identifie l'angle $θ$ tel que $cos θ = \frac{x}{∣ z ∣}$ et $sin θ = \frac{y}{∣ z ∣}$ .

Pour montrer que $b = (1 + i) a$ , développe le produit $(1 + i) (3 + i)$ en utilisant la distributivité et $i^{2} = - 1$ . Ensuite, pour la forme trigonométrique de $b$ , multiplie les modules et additionne les arguments de $1 + i$ et $a$ .

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