Soit le nombre complexe z = 1 + 3 i . 1. Exprimez z sous forme trigonométrique. 2. Calculez les racines cubiques de z . 3. Si l'on effectue une rotation de 6 0 ∘ autour de l'origine de chacune de ces racines, exprimez les nouvelles positions sous forme algébrique.

Racines et Transformations

Difficile

Énoncé

Soit le nombre complexe $z = 1 + 3 i$ . 1. Exprimez $z$ sous forme trigonométrique. 2. Calculez les racines cubiques de $z$ . 3. Si l'on effectue une rotation de $6 0^{\circ}$ autour de l'origine de chacune de ces racines, exprimez les nouvelles positions sous forme algébrique.

Indices

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1 Indice 1

Commence par le module et l'argument de $z$.

2 Indice 2

Pour les racines cubiques, la formule fait intervenir $|z|^{1/3}$ et $\frac{\arg(z)+2k\pi}{3}$ pour $k=0,1,2$.

3 Indice 3

Une rotation de $60^\circ$ revient a multiplier par $e^{i\pi/3}$.

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Commence par le module et l'argument de $z$ .

Pour les racines cubiques, la formule fait intervenir $∣ z ∣^{1/3}$ et $\frac{a r g ( z ) + 2 k π}{3}$ pour $k = 0, 1, 2$ .

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