Équation, rotation d'angle pi/8 et triangle isocèle

A) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E):z^2+(1-i)z+2-2i=0$.

On pose ensuite $a=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

1. a) Écrire $a$ sous forme trigonométrique et en déduire que $a^{2024}\in \mathbb{R}$. b) On pose $b=\cos \frac{\pi }{8}+i\sin \frac{\pi }{8}$ ; montrer que $b^2=a$.

2. Dans le repère orthonormé, on note $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ avec $c=1$, et $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{8}$, d'écriture complexe $M(z)\mapsto M^{\prime }(z^{\prime })$. a) Vérifier que $z^{\prime }=bz$. b) Déterminer l'image de $C$ par $R$ et montrer que $A=R(B)$.

3. a) Montrer que $|a-b|=|b-c|$ et déterminer la nature du triangle $ABC$. b) Déterminer une mesure de l'angle $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$.

4. $T$ est la translation de vecteur $\vec{u}$ (affixe $1$) et $D=T(A)$. a) Vérifier que $d=b^2+1$. b) Montrer que $\frac{b^2+1}{b}=b+\overline{b}$ et en déduire que $O$, $B$, $D$ sont alignés.