Montrer que pour tous réels a et b : e ia + e ib = 2 cos ( 2 a − b ) e i 2 a + b e ia − e ib = 2 i sin ( 2 a − b ) e i 2 a + b Écrire sous forme exponentielle les nombres : z 1 = 1 + e i 8 π ; z 2 = 2 3 + i 2 3 ; z 3 = 2 − 2 − i 2 ; z 4 = 1 + i tan 8 π 1

Factorisation par l'angle moitié et formes exponentielles

Intermédiaire

Énoncé

Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ :
$e^{ia} + e^{ib} = 2 cos (\frac{a - b}{2}) e^{i \frac{a + b}{2}}$
$e^{ia} - e^{ib} = 2 i sin (\frac{a - b}{2}) e^{i \frac{a + b}{2}}$
Écrire sous forme exponentielle les nombres :
$z_{1} = 1 + e^{i \frac{π}{8}}; z_{2} = \frac{3}{2} + i \frac{3}{2}; z_{3} = 2 - 2 - i 2; z_{4} = \frac{1}{1 + i tan \frac{π}{8}}$

Indices

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1 Indice 1

Pour démontrer les formules, factorise par $e^{i\frac{a+b}{2}}$ en écrivant $e^{ia} = e^{i\frac{a+b}{2}} \cdot e^{i\frac{a-b}{2}}$ et $e^{ib} = e^{i\frac{a+b}{2}} \cdot e^{-i\frac{a-b}{2}}$, puis utilise les formules d'Euler.

2 Indice 2

Pour $z_1 = 1 + e^{i\frac{\pi}{8}}$, remarque que $1 = e^{i \cdot 0}$, puis applique la première formule démontrée avec $a = \dfrac{\pi}{8}$ et $b = 0$. Pour $z_2$, commence par repérer $\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ qui est une exponentielle connue.

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Pour démontrer les formules, factorise par $e^{i \frac{a + b}{2}}$ en écrivant $e^{ia} = e^{i \frac{a + b}{2}} \cdot e^{i \frac{a - b}{2}}$ et $e^{ib} = e^{i \frac{a + b}{2}} \cdot e^{- i \frac{a - b}{2}}$ , puis utilise les formules d'Euler.

Pour $z_{1} = 1 + e^{i \frac{π}{8}}$ , remarque que $1 = e^{i \cdot 0}$ , puis applique la première formule démontrée avec $a = \frac{π}{8}$ et $b = 0$ . Pour $z_{2}$ , commence par repérer $\frac{1}{2} + i \frac{3}{2}$ qui est une exponentielle connue.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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