التمرين 3 — صيغة موافر والمبرهنة الخطية الجزء 1 — تطبيق صيغة موافر بتطبيق صيغة موافر على ( cos θ + i sin θ ) 3 ، انشر التعبير وحدد الجزء الحقيقي والجزء التخيلي لإثبات ما يلي: cos ( 3 θ ) = 4 cos 3 θ − 3 cos θ sin ( 3 θ ) = 3 sin θ − 4 sin 3 θ استنتج القيمة المضبوطة لـ cos ( π /9 ) بحل المعادلة 4 x 3 − 3 x = 1/2 مع العلم أن x = cos ( π /9 ) هو حل. (نقبل أن لهذه المعادلة ثلاثة جذور حقيقية مختلفة، يكفي تحديد الجذر الصحيح.) الجزء 2 — حساب مجموع مثلثي باستخدام صيغة موافر، بين أنه لكل عدد صحيح n ≥ 1 : ( cos θ + i sin θ ) n + ( cos θ + i sin θ ) − n = 2 cos ( n θ ) استنتج أن cos 2 θ = ( 1 + cos ( 2 θ )) ÷ 2 . (ضع n = 1 في متطابقة مناسبة تتضمن ( e i θ + e − i θ ) 2 .)

صيغة موافر وتحويل cos³θ الخطي

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 3 — صيغة موافر والمبرهنة الخطية

الجزء 1 — تطبيق صيغة موافر

بتطبيق صيغة موافر على $(cos θ + i sin θ)^{3}$ ، انشر التعبير وحدد الجزء الحقيقي والجزء التخيلي لإثبات ما يلي:
$cos (3 θ) = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$
$sin (3 θ) = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$
استنتج القيمة المضبوطة لـ $cos (π /9)$ بحل المعادلة $4 x^{3} - 3 x = 1/2$ مع العلم أن $x = cos (π /9)$ هو حل. (نقبل أن لهذه المعادلة ثلاثة جذور حقيقية مختلفة، يكفي تحديد الجذر الصحيح.)

الجزء 2 — حساب مجموع مثلثي

باستخدام صيغة موافر، بين أنه لكل عدد صحيح $n \geq 1$ :
$(cos θ + i sin θ)^{n} + (cos θ + i sin θ)^{- n} = 2 cos (n θ)$
استنتج أن $cos^{2} θ = (1 + cos (2 θ)) \div 2$ . (ضع $n = 1$ في متطابقة مناسبة تتضمن $(e^{i θ} + e^{- i θ})^{2}$ .)

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

Pour la partie 1, commence par développer $(\cos\theta + i\sin\theta)^3$ avec la formule du binôme de Newton, puis égale ce résultat à $\cos(3\theta) + i\sin(3\theta)$ donné par Moivre. Identifie ensuite les parties réelles entre elles.

2 الإرشاد 2

Pour trouver $\cos(\dfrac{\pi}{9})$, remarque que $3 \times \dfrac{\pi}{9} = \dfrac{\pi}{3}$. Applique donc la formule $\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ avec $\theta = \dfrac{\pi}{9}$, sachant que $\cos(\dfrac{\pi}{3}) = \dfrac{1}{2}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

Pour la partie 1, commence par développer $(cos θ + i sin θ)^{3}$ avec la formule du binôme de Newton, puis égale ce résultat à $cos (3 θ) + i sin (3 θ)$ donné par Moivre. Identifie ensuite les parties réelles entre elles.

Pour trouver $cos (\frac{π}{9})$ , remarque que $3 \times \frac{π}{9} = \frac{π}{3}$ . Applique donc la formule $cos (3 θ) = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ avec $θ = \frac{π}{9}$ , sachant que $cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

تحويلات المستوى العقدي، الجذور والمحل الهندسي كل تمارين الدرس الشكل المثلثي وعمدة عدد عقدي

صيغة موافر وتحويل cos³θ الخطي

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

صيغة موافر وتحويل cos³θ الخطي

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯