الجذور التكعيبية والتحويلات الهندسية

التمرين 5 — الجذور التكعيبية والهندسة في $\mathbb{C}$

في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر (O, $\vec{u}$, $\vec{v}$) وحدته 1 cm، نرمز بـ $z_M$ إلى لحق النقطة M.

الجزء A — جذور المعادلة $z^3=-8i$

1. اكتب $-8i$ على الشكل الأسي.
2. حدد الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد $-8i$. سنرمز لها بـ $z_0$, $z_1$, $z_2$ وسنعبر عنها على الشكل الأسي ثم الجبري.
3. مثل النقط A, B, C ذات الألحاق $z_0$, $z_1$, $z_2$ في المستوى العقدي. ما هي طبيعة المثلث ABC؟

الجزء B — تحويل المستوى

نُعرف التحويل f للمستوى كالتالي: لكل نقطة M ذات اللحق z (z $\ne$ 0)،
صورة M' = f(M) لها اللحق $z^{\prime }=\frac{z^2+2\bar{z}}{\bar{z}}$، حيث $\bar{z}$ يرمز إلى مرافق z.

4. عبر عن z' بدلالة z و $\bar{z}$. بين أنه إذا كان $z=r{e}^{i\theta }$، فإن $z^{\prime }=r{e}^{2i\theta }+2e^{-i\theta }\times e^{2i\theta }$... (بسط z' كلياً).
5. حدد مجموعة النقط M بحيث M' = M (النقط الصامدة للتحويل f).
6. حدد مجموعة النقط M بحيث $|z^{\prime }|=|z|$.