لتكن n عددًا طبيعيًا غير معدوم. نعتبر كثير الحدود: P ( x ) = n x n + 1 − ( n + 1 ) x n + 1 . أثبت أن 1 جذر لـ P ( x ) . أثبت أن P ( 2 ) = 2 n ( n − 1 ) + 1 . بملاحظة أن P ( 2 ) يُظهر المجموع S = 2 + 2 2 + ⋯ + 2 n ، حدد قيمة S .

Polynôme paramétré par n et somme géométrique

Difficile

لتكن $n$ عددًا طبيعيًا غير معدوم. نعتبر كثير الحدود:

$P (x) = n x^{n + 1} - (n + 1) x^{n} + 1$ .

أثبت أن $1$ جذر لـ $P (x)$ .
أثبت أن $P (2) = 2^{n} (n - 1) + 1$ .
بملاحظة أن $P (2)$ يُظهر المجموع $S = 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n}$ ، حدد قيمة $S$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، عوض $x$ بـ $1$ في $P(x)$ وبسط.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، عوض $x$ بـ $2$، ثم استخرج $2^n$ كعامل مشترك باستعمال $2^{n+1} = 2\\times 2^n$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، بما أن $1$ جذر، يمكن كتابة $P(2)$ باستعمال المجموع الهندسي $1+2+\\dots+2^{n-1} = 2^n - 1$؛ حدد بعد ذلك $S$ بالنسبة لهذا المجموع.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، عوض $x$ بـ $1$ في $P (x)$ وبسط.

بالنسبة للسؤال 2، عوض $x$ بـ $2$ ، ثم استخرج $2^{n}$ كعامل مشترك باستعمال $2^{n + 1} = 2 t im es 2^{n}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points