بطاقة المراجعة — الأولى باكالوريا علوم رياضية

المتتاليات، الحساب المثلثي، الجداء السلمي، الاشتقاق، النهايات، الاحتمالات، الأعداد المركبة، الفضاء · atlasmaths.com

∑ المتتاليات العددية 📄 مذكرة ←

متتالية حسابية

$u_{n} = u_{0} + n \times r \cdot S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$

متتالية هندسية

$u_{n}$ = u₀ × qⁿ · $S_{n}$ = u₀×(qⁿ⁺¹−1)/(q−1)

الرتابة

حسابية : r>0 → تزايدية · هندسية : q>1 و u₀>0 → تزايدية

أخطاء يجب تجنّبها

✗المجموع $S_{n}$ = u₀+u₁+...+ $u_{n}$ يحتوي على (n+1) حدا، وليس n
✗متتالية هندسية مع q<0 : الحدود تتناوب في الإشارة

🎲 التعداد 📄 مذكرة ←

الترتيبات

Aⁿ $_{p}$ = n! / (n−p)!

مثال : A⁵₂ = 5×4 = 20

التأليفات

Cⁿ $_{p}$ = n! / (p!×(n−p)!)

مثال : C⁵₂ = 10

حدانية نيوتن

(a+b)ⁿ = Σ Cⁿ $_{k}$ aⁿ⁻ $^{k}$ $b^{k}$ (k من 0 إلى n)

العاملي

n! = n×(n−1)×...×2×1 · 0! = 1

أخطاء يجب تجنّبها

✗الترتيبات : الترتيب مهم · التأليفات : الترتيب غير مهم
✗Cⁿ $_{p}$ = Cⁿ $_{n}$ ₋ $_{p}$ (خاصية التماثل)

للتذكّر

مثلث باسكال : كل خانة = مجموع الخانتين اللتين فوقها

∠ الحساب المثلثي 📄 مذكرة ←

القيم المضبوطة

cos(0)=1, cos(π/6)= $3$ /2, cos(π/4)= $2$ /2, cos(π/3)=1/2, cos(π/2)=0

العلاقة الأساسية

cos²(x) + sin²(x) = 1

الجمع (جيب التمام)

cos(a+b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)

الجمع (الجيب)

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

الزاوية المضاعفة (جيب التمام)

cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a

الزاوية المضاعفة (الجيب)

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

أخطاء يجب تجنّبها

✗cos و sin معرفتان على ℝ بأكمله، أما tan فغير معرف عند x = π/2 + kπ
✗صيغتا sin(a+b) و cos(a+b) مختلفتان — لا تخلط بينهما

→ الجداء السلمي 📄 مذكرة ←

التعريف

$u^{\to}$ · $v^{\to}$ = | $u^{\to}$ || $v^{\to}$ |cos(θ)

بالإحداثيات

$u^{\to}$ (x₁,y₁)· $v^{\to}$ (x₂,y₂) = x₁x₂ + y₁y₂

علاقة الكاشي

BC² = AB² + AC² − 2×AB×AC×cos(Â)

التعامد

$u^{\to}$ ⊥ $v^{\to}$ ⇔ $u^{\to}$ · $v^{\to}$ = 0

المنظم

| $u^{\to}$ |² = $u^{\to}$ · $u^{\to}$ = x² + y²

أخطاء يجب تجنّبها

✗الجداء السلمي عدد حقيقي، وليس متجهة
✗الكاشي : الزاوية محصورة بين الضلعين المعلومين

→ النهايات والاتصال 📄 مذكرة ←

أشكال غير محددة يجب رفعها

0/0 · ∞/∞ · ∞−∞ · 0×∞ → التعميل أو الضرب في المرافق

نهايات أساسية

$x \to 0 lim sin (x) / x = 1 \cdot x \to 0 lim (e^{x} - 1) / x = 1 \cdot x \to 0 lim ln (1 + x) / x = 1$

الحدوديات في ±∞

حد الدرجة الأعلى هو المهيمن · eˣ>>xⁿ>>ln(x)

الاتصال عند a

f متصلة عند a ⇔ $x \to a lim$ f(x) = f(a)

مبرهنة القيم الوسيطية (بولزانو)

f متصلة على [a,b], f(a)·f(b)<0 ⇒ ∃c∈]a,b[ : f(c)=0

أخطاء يجب تجنّبها

✗sin(x)/x → 1 فقط إذا كان x → 0 (وليس إذا كان x → +∞)
✗مبرهنة القيم الوسيطية تعطي الوجود، وليس الوحدانية
✗الشكل غير المحدد ∞−∞ : عمّل بالحد المهيمن قبل الاستنتاج

للتذكّر

لرفع 0/0 : عمّل البسط والمقام بـ (x−a)، بسّط ثم احسب

f' الاشتقاق ودراسة الدوال 📄 مذكرة ←

المشتقات الأساسية

(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ · (eˣ)'=eˣ · (ln x)'=1/x · (sin x)'=cos x · (cos x)'=−sin x

الجداء

(uv)' = u'v + uv'

خارج القسمة

(u/v)' = (u'v − uv') / v²

المركبة

(f∘g)' = g'·(f'∘g) أمثلة : ( $e^{u}$ )'=u' $e^{u}$ · (ln u)'=u'/u · (uⁿ)'=nu'uⁿ⁻¹

إشارة f'

f'>0 ⇒ f تزايدية · f'<0 ⇒ f تناقصية · f'(a)=0 → قيمة قصوى محتملة

أخطاء يجب تجنّبها

✗(ln u)' = u'/u وليس 1/u
✗(sin 2x)' = 2cos(2x) : لا تنسَ مشتقة الداخل
✗f'(a)=0 لا يضمن وجود قيمة قصوى — قد تكون نقطة انعطاف

للتذكّر

خطة الدراسة : Df → النهايات → f' → إشارة f' → جدول التغيرات → القيم القصوى → الإنشاء

🎲 الاحتمالات 📄 مذكرة ←

الاحتمال الشرطي

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) مع P(B) > 0

الاحتمالات الكلية

P(A) = P(A|B)·P(B) + P(A| $\overline{B}$ )·P( $\overline{B}$ ) إذا كان {B, $\overline{B}$ } تجزيئا

مبرهنة بايز

P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A)

الاستقلال

A و B مستقلان ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B)

القانون الحدي X∼B(n,p)

P(X=k) = $C_{n}^{k}$ · $p^{k}$ ·(1−p)ⁿ⁻ $^{k}$ · E(X)=np · V(X)=np(1−p)

أخطاء يجب تجنّبها

✗P(A|B) ≠ P(B|A) — خلط شائع (بايز)
✗الاستقلال ≠ عدم التوافق : إذا كان A∩B=∅ فإن P(A∩B)=0، لكن P(A)P(B) قد يكون ≠0

للتذكّر

شجرة الاحتمالات : اضرب الاحتمالات على الأغصان، واجمع الأغصان الطرفية

ℂ الأعداد المركبة (مدخل) 📄 مذكرة ←

الكتابة الجبرية

z = a + ib مع i² = −1 (a, b ∈ ℝ)

المعيار

|z| = $a^{2} + b^{2}$

مثال : |3+4i| = 5

المرافق

 $\overline{z}$  = a − ib  ·  z× $\overline{z}$  = |z|²  ·  Re(z)=(z+ $\overline{z}$ )/2  ·  Im(z)=(z− $\overline{z}$ )/(2i)

القسمة

z/z' : اضرب البسط والمقام في $\overline{z}$ '

مثال : (1+i)/(1−i) = (1+i)²/2 = i

الكتابة المثلثية

z = r(cosθ + i sinθ) مع r=|z| و θ=arg(z)

أخطاء يجب تجنّبها

✗i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 (دور دوريته 4)
✗للقسمة : اضرب في مرافق المقام

للتذكّر

النقطة M(z) في المستوى المركب : M(a+ib) إحداثياتها (a ; b)

🧊 الهندسة في الفضاء 📄 مذكرة ←

الأوضاع النسبية للمستقيمات/المستويات

مستقيمان : متوافقان (متوازيان أو متقاطعان) أو غير متوافقين (متخالفان)

مستقيم ⊥ مستوى

d ⊥ (P) ⇔ d عمودي على مستقيمين متقاطعين من (P)

مستويان متوازيان

(P) ∥ (Q) ⇔ مستقيمان متقاطعان من (P) يوازيان مستقيمين متقاطعين من (Q)

مبرهنة العموديات الثلاث

ليكن d' مستقيما كيفما كان، h مسقطه العمودي على (P)، t مستقيما من (P) : h⊥t ⇔ d'⊥t

الحجوم

مكعب : a³ · هرم : V=Bh/3 · كرة : 4πr³/3 · أسطوانة : πr²h · مخروط : πr²h/3

أخطاء يجب تجنّبها

✗مستقيم يوازي مستقيما من مستوى ليس بالضرورة موازيا للمستوى
✗تأكد من أن المستقيمين متقاطعان (وليسا متوازيين) من أجل معيار d⊥(P)

للتذكّر

مقطع مجسم بمستوى : طبّق طاليس / التوازي لإيجاد الأطوال

بطاقة من إنجاز Atlasmaths · منصة الرياضيات للتلاميذ المغاربة

بطاقة المراجعة — الأولى باكالوريا علوم رياضية

∑ المتتاليات العددية 📄 مذكرة ←

🎲 التعداد 📄 مذكرة ←

∠ الحساب المثلثي 📄 مذكرة ←

→ الجداء السلمي 📄 مذكرة ←

→ النهايات والاتصال 📄 مذكرة ←

f' الاشتقاق ودراسة الدوال 📄 مذكرة ←

🎲 الاحتمالات 📄 مذكرة ←

ℂ الأعداد المركبة (مدخل) 📄 مذكرة ←

🧊 الهندسة في الفضاء 📄 مذكرة ←

Installe Atlasmaths sur ton téléphone