📉 المتتاليات سؤال على 2 نقطة

إثبات تقارب متتالية تراجعية

السلسلة محدودة ← رتيبة ← متقاربة ← النهاية: أين يضع المصحح كل نقطة.

📋 نص السؤال

نعتبر المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بـ $u_{0} = 1$ وبأنه، لكل $n \in N$ ، $u_{n + 1} = 2 + u_{n}$ .

1) بيّن أنه لكل $n$ ، $1 \leq u_{n} \leq 2$ .

2) ادرس إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ واستنتج رتابة $(u_{n})$ .

3) استنتج أن $(u_{n})$ متقاربة، ثم حدد نهايتها $ℓ$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

التهيئة: $u_{0} = 1$ إذن $1 \leq u_{0} \leq 2$ ، التأطير صحيح من أجل الرتبة $0$ .
+0,25

💡 يشترط المصحح تهيئة صريحة: بدونها لا يكون الاستدلال بالترجع صحيحا وتبقى النقطة محدودة.
2

الوراثة: نفترض أن $1 \leq u_{n} \leq 2$ ، إذن $3 \leq 2 + u_{n} \leq 4$ ومنه $3 \leq u_{n + 1} \leq 2$ ، وبما أن $1 \leq 3$ فإن $1 \leq u_{n + 1} \leq 2$ .
+0,25

💡 هذا هو جوهر الاستدلال بالترجع: تطبيق الجذر (دالة تزايدية) على الفرضية يمنح النقطة حتى لو كان الاستنتاج مختصرا.
3

خلاصة الاستدلال بالترجع: بالاستدلال بالترجع، لكل $n$ ، $1 \leq u_{n} \leq 2$ . إذن المتتالية محدودة.
+0,25

💡 جملة الختام «إذن بالاستدلال بالترجع» تُثبّت السؤال 1 شكليا وتُرسّخ المكبور المفيد في السؤال 3.
4

إشارة الفرق: $u_{n + 1} - u_{n} = 2 + u_{n} - u_{n} = \frac{2 + u _{n} - u _{n}^{2}}{2 + u _{n} + u _{n}} = \frac{( 2 - u _{n} ) ( 1 + u _{n} )}{2 + u _{n} + u _{n}}$ .
+0,25

💡 المرافق يُظهر العامل $2 - u_{n}$ : هذه هي المعالجة الجبرية المنتظَرة، وتُحتسب حتى بدون الاستنتاج.
5

الرتابة: بما أن $1 \leq u_{n} \leq 2$ ، فإن $2 - u_{n} \geq 0$ و $1 + u_{n} > 0$ والمقام $> 0$ ، إذن $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ : المتتالية تزايدية.
+0,25

💡 استنتاج الإشارة انطلاقا من تأطير السؤال 1: هذه هي النقطة التي تربط السؤالين وتُبرر كون المتتالية «تزايدية».
6

التقارب: المتتالية $(u_{n})$ تزايدية ومكبورة بـ $2$ ، إذن حسب مبرهنة التقارب الرتيب فهي متقاربة نحو نهاية $ℓ$ .
+0,25

💡 هذه الجملة-المبرهنة وحدها تمنح النقطة: إنها الحجة الحاسمة التي يبحث عنها المصحح صراحة.
7

معادلة النهاية: الدالة $f (x) = 2 + x$ متصلة على $[1, 2]$ و $u_{n + 1} = f (u_{n})$ ، إذن بالمرور إلى النهاية $ℓ = 2 + ℓ$ ، أي $ℓ^{2} = 2 + ℓ$ .
+0,25

💡 المرور إلى النهاية يجب أن يذكر اتصال $f$ : بدون هذا الذكر، لا تكون المعادلة $f (ℓ) = ℓ$ مبررة.
8

الحل والإقصاء: $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ يعطي $ℓ = 2$ أو $ℓ = - 1$ ؛ لكن $1 \leq u_{n} \leq 2$ إذن $ℓ \geq 1$ ، فنقصي $- 1$ . الخلاصة: $lim u_{n} = 2$ .
+0,25

💡 حل المعادلة ثم إقصاء الجذر المستحيل بفضل التأطير: الخطوتان معا تُكملان النقطة القصوى.

مجموع نقط السؤال 2 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

السؤال 3 هو الأكثر مردودية: حجة واحدة جيدة الصياغة تفتح كل شيء تقريبا.

جملة «كل متتالية تزايدية ومكبورة تكون متقاربة» تمنح نقطة وحدها: اكتبها بمجرد أن تُثبت الرتابة والمكبور، حتى لو كان السؤالان 1 و2 ناقصين.
يمكنك التسليم بالسؤال 1 («نسلّم بأن $1 \leq u_{n} \leq 2$ ») لمعالجة السؤالين 2 و3: يُحتسب للمصحح الاستغلال الصحيح لنتيجة مُسلَّم بها.
عند المرور إلى النهاية، اكتب صراحة « $f$ متصلة إذن $f (ℓ) = ℓ$ »: بدون كلمة «متصلة»، تُعتبر المعادلة $ℓ = 2 + ℓ$ غير مبررة وتفقد النقطة.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

التلميذ أ: « $ℓ = 2 + ℓ$ إذن $ℓ = 2$ ». النهاية الصحيحة وُجدت، لكن لا شيء يُثبت أن المتتالية متقاربة ولا أن هذه النهاية موجودة: لا يحتسب المصحح سوى حساب النقطة الصامدة، لا التقارب.

التلميذ ب (النقطة القصوى): يبيّن أولا $1 \leq u_{n} \leq 2$ (بالاستدلال بالترجع)، ثم $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ (متتالية تزايدية)، ويستحضر مبرهنة «تزايدية + مكبورة $\Rightarrow$ متقاربة»، وبعد ذلك فقط يحسب $ℓ = 2$ بالاتصال. الخلاصة: إيجاد النهاية الصحيحة دون تبرير التقارب يبقى محصورا حول نصف النقط؛ إن خطوات محدودة + رتيبة + المبرهنة، الموضوعة قبل الحساب، هي ما يصنع الفرق.