📈 التحليل سؤال على 1,5 نقطة

إثبات أن معادلة تقبل حلا وحيدا (مبرهنة القيم الوسيطية)

الاتصال، الرتابة، الإشارات عند الحدود: كل كلمة مفتاحية في مبرهنة القيم الوسيطية تمنحك نقطا. إليك كيفية حصد كل النقط.

📋 نص السؤال

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $R$ بـ $f (x) = x^{3} + 3 x - 1$ .

أثبت أن المعادلة $f (x) = 0$ تقبل حلا وحيدا $α$ في المجال $[0; 1]$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

$f$ دالة حدودية، إذن $f$ متصلة على $R$ ، وخاصة على $[0; 1]$ .
+0,25

💡 الاتصال فرضية إجبارية في مبرهنة القيم الوسيطية: ذكره صراحة على المجال يضمن لك نقطة.
2

لكل $x \in R$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3$ .
+0,25

💡 الحساب الصحيح للمشتقة يُمهد لدراسة منحى تغير الدالة، وهو ضروري لإثبات الوحدانية.
3

لكل $x \in R$ ، $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3 \geq 3 > 0$ ، إذن $f$ تزايدية قطعا على $[0; 1]$ .
+0,25

💡 إشارة $f^{'}$ تعطي الرتابة القطعية: هي التي ستضمن وحدانية الحل.
4

$f (0) = - 1$ و $f (1) = 3$ ، إذن $f (0) \times f (1) < 0$ (إشارتان متخالفتان).
+0,25

💡 إثبات أن $0$ محصور بين $f (0)$ و $f (1)$ هو الفرضية الأخرى لمبرهنة القيم الوسيطية: بدون هذا الحساب، لا وجود للحل.
5

بما أن $f$ متصلة وتزايدية قطعا على $[0; 1]$ مع $f (0) \times f (1) < 0$ ، فحسب مبرهنة القيم الوسيطية فإن المعادلة $f (x) = 0$ تقبل حلا واحدا على الأقل $α \in] 0; 1 [$ .
+0,25

💡 صياغة مبرهنة القيم الوسيطية بربط الفرضيات بالنتيجة تعطي وجود الحل.
6

الرتابة القطعية لـ $f$ على $[0; 1]$ تضمن وحدانية هذا الحل.
+0,25

💡 هذه هي الحجة التي تحول «حلا واحدا على الأقل» إلى «حلا واحدا بالضبط»: نصف النتيجة.

مجموع نقط السؤال 1,5 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

المصحح يؤشر على كلمات مفتاحية دقيقة: يمكنك حصد جل النقط دون حتى حساب $α$ .

اكتب بوضوح « $f$ متصلة على $[0; 1]$ »: نسيان هذه الكلمة يُفقدك نقطة حتى لو كان كل الباقي صحيحا.
أعطِ صراحة $f (0)$ و $f (1)$ واستنتج «إشارتان متخالفتان»: هذا الحساب وحده يساوي نقطة ويُفعّل الوجود.
حتى لو أخفقت في الوحدانية، فإن ذكر الاتصال + الإشارات عند الحدود + مبرهنة القيم الوسيطية يمنحك أصلا الوجود، أي أغلب النقطة.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

الورقة التي تكتب « $f (0) < 0$ و $f (1) > 0$ إذن يوجد حل» تنسى أن تذكر أن $f$ متصلة ولا تبرر الوحدانية بالرتابة القطعية: فتفقد نصف النقط. أما الورقة الكاملة فتتسلسل بشكل سليم: $f$ متصلة على $[0; 1]$ ، $f$ تزايدية قطعا (إشارة $f^{'}$ )، $f (0) \times f (1) < 0$ ، إذن حسب مبرهنة القيم الوسيطية تقبل المعادلة حلا، والرتابة القطعية تضمن وحدانيته.