برهان بالاستدلال بالترجع

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بـ $u_0=2$ ولكل $n\in \mathbb{N}$ بـ $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+1$. بيّن أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، لدينا $u_n>1$.

حتى وإن توقفت عند حساب الوراثة، لا تُسلّم أبدًا ورقة فارغة: بنية الاستدلال بالترجع وحدها تمنحك نصف النقط.

• اكتب فورًا التهيئة: التحقق من أن $u_0=2>1$ يستغرق عشر ثوانٍ وهو نقطة مضمونة.
• ضع فرضية الترجع بالحروف الكاملة: «ليكن $n\in \mathbb{N}$، نفترض أن $u_n>1$» واكتب ما تريد أن تبيّنه «لنبيّن أن $u_{n+1}>1$»: جملتان تمنحان نقطًا حتى دون إتمام الحساب.
• إن لم تتوصل إلى النتيجة، اكتب رغم ذلك جملة الخلاصة النموذجية «إذن بالاستدلال بالترجع، لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_n>1$»: المنهجية الصحيحة تُثمَّن.

متسرعة (≈ نصف النقط): «$u_0=2$. إذا كان $u_n>1$ فإن $\frac{1}{2}{u}_n+1>1$ إذن صحيح.» الحساب يقفز فوق المراحل، والفرضية لم تُوضَع بصفتها هذه، وتنقص جملة «بالاستدلال بالترجع». المصحح لا يرى تهيئة مسمّاة ولا خلاصة: فيقتطع نصف النقط.

متقنة (النقطة الكاملة): نعلن $P(n)$، ونكتب «التهيئة: $u_0=2>1$»، ثم «ليكن $n\in \mathbb{N}$، نفترض أن $u_n>1$؛ لنبيّن أن $u_{n+1}>1$»، نسترسل $u_n>1\Rightarrow \frac{1}{2}{u}_n+1>\frac{3}{2}>1$، وننهي بـ «إذن بالاستدلال بالترجع، لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_n>1$». كل كلمة مفتاحية تُفعّل نقطة.