🧭 الأعداد العقدية سؤال على 2 نقطة

معادلة في ℂ + الشكل المثلثي

المميز، الجذور، الطويلة، العمدة: كل مقطع يمنح نقطه بشكل مستقل.

📋 نص السؤال

1) حل في $C$ المعادلة $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ .

2) ليكن $z_{0} = 1 + i 3$ أحد الحلول. اكتب $z_{0}$ على الشكل المثلثي.

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

حساب المميز: $Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 1 \times 4 = 4 - 16 = - 12$ .
+0,25

💡 وضع المميز وحسابه بشكل صحيح هو أول خطوة لها نقطة في السلم، حتى قبل الاستنتاج.
2

كتابة $Δ$ على شكل مربع: $Δ = - 12 = (2 i 3)^{2}$ لأن $(2 i 3)^{2} = 4 i^{2} \times 3 = - 12$ .
+0,25

💡 وضع $Δ$ على الشكل $(ib)^{2}$ يبرر الانتقال إلى الجذور العقدية: سطر مستقل.
3

الجذر الأول: $z_{1} = \frac{2 + 2 i 3}{2} = 1 + i 3$ .
+0,25

💡 تطبيق الصيغة $z = \frac{- b + Δ}{2 a}$ بشكل صحيح يمنح نقطه، جذرا بجذر.
4

الجذر الثاني: $z_{2} = \frac{2 - 2 i 3}{2} = 1 - i 3$ . إذن $S = (1 + i 3; 1 - i 3)$ .
+0,25

💡 الجذر الثاني ومجموعة الحلول يحتسبان على حدة: تنتزع النقط حتى لو أخطأت في الجذر الأول.
5

طويلة $z_{0}$ : $∣ z_{0} ∣ = 1^{2} + (3)^{2} = 1 + 3 = 4 = 2$ .
+0,25

💡 تُحسب الطويلة بشكل مستقل عن العمدة: نقطة مضمونة بمجرد معرفة الصيغة.
6

نظمة جيب التمام/الجيب: $cos (θ) = \frac{1}{2}$ و $sin (θ) = \frac{3}{2}$ مع $θ = ar g (z_{0})$ .
+0,25

💡 وضع النظمة $cos$ و $sin$ بشكل سليم يمنح نقطه، حتى لو لم تُحدد الزاوية النهائية بعد.
7

تحديد العمدة: $θ = \frac{π}{3} [2 π]$ لأن $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ و $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ .
+0,25

💡 العمدة الصحيحة، المستنتجة من النظمة، لها نقطة منفصلة عن النظمة نفسها.
8

الشكل المثلثي النهائي: $z_{0} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ .
+0,25

💡 الاستنتاج الذي يجمع الطويلة والعمدة في كتابة صحيحة يستحق النصيب الأخير من النقط.

مجموع نقط السؤال 2 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

لا تترك الورقة فارغة أبدا: هذا الموضوع مقسم إلى مقاطع تُنقط بشكل منفصل.

كتابة المميز $Δ = - 12$ تمنحك نقطا بالفعل، حتى قبل إيجاد الجذور.
الطويلة $∣ z_{0} ∣ = 2$ تُحسب وحدها: أعطها دائما، فهي مستقلة عن العمدة.
ضع النظمة $cos (θ) = \frac{1}{2}$ و $sin (θ) = \frac{3}{2}$ : فهي تمنحك نقطا حتى لو أخطأت في الزاوية في النهاية.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

الورقة التي تعطي $∣ z_{0} ∣ = 2$ ثم تكتب مباشرة $θ = \frac{π}{3}$ دون وضع النظمة تبلغ سقفها: الطويلة تُقبل لكن العمدة غير مبررة ( $cos$ وحده لا يميز $\frac{π}{3}$ عن $- \frac{π}{3}$ ). أما الورقة التي تضع $cos$ و $sin$ ، وتستنتج منهما $θ = \frac{π}{3}$ وتختم بـ $z_{0} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ فتحصل على النقطة القصوى.