∫ المكاملة سؤال على 1,5 نقطة

حساب تكامل بالأجزاء

أين تذهب النقط في المكاملة بالأجزاء: الإعلان عن $u$ و$v'$ و$u'$ و$v$ ووضع الصيغة يضمن لك مسبقا نصف النقط.

📋 نص السؤال

لتكن $I = 0 \int 1 x e^{x} d x$ .

1. احسب $I$ باستعمال المكاملة بالأجزاء.

2. لتكن $f$ الدالة المعرفة على $[0; 1]$ بـ $f (x) = x e^{x}$ . استنتج، بوحدة المساحة، مساحة $A$ الحيز المحصور بين منحنى $f$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x = 0$ و $x = 1$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

نضع $u (x) = x$ و $v^{'} (x) = e^{x}$ ، دالتان من الصنف $C^{1}$ على $[0; 1]$ .
+0,25

💡 اختيار $u$ (الحدودية، التي سنشتقها) و $v^{'}$ هو الانطلاقة المُنقَّطة: إنه القرار الاستراتيجي للمكاملة بالأجزاء.
2

ومنه $u^{'} (x) = 1$ و $v (x) = e^{x}$ .
+0,25

💡 حساب $u^{'}$ ودالة أصلية $v$ لـ $v^{'}$ مطلوب صراحة: بدون هذه المقادير الأربعة لا تكون المكاملة بالأجزاء مبررة.
3

الصيغة: $0 \int 1 u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{0}^{1} - 0 \int 1 u^{'} (x) v (x) d x$ .
+0,25

💡 كتابة صيغة المكاملة بالأجزاء تثبت التمكن من المبرهنة، بمعزل عن الحساب.
4

التطبيق: $I = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x$ . الحاصرة: $[x e^{x}]_{0}^{1} = 1 \cdot e^{1} - 0 = e$ ؛ التكامل المتبقي: $0 \int 1 e^{x} d x = e - 1$ .
+0,25

💡 التعويض الصحيح ثم حساب الحاصرة والتكامل البسيط دون خطأ في الإشارة يركّز الحساب.
5

النتيجة: $I = e - (e - 1) = 1$ .
+0,25

💡 النتيجة النهائية الصحيحة، المنسجمة مع المراحل، تصادق على كل الاستدلال.
6

بما أن $f (x) = x e^{x} \geq 0$ على $[0; 1]$ ، فإن المساحة تساوي $A = I = 1$ وحدة المساحة.
+0,25

💡 تبرير إشارة $f$ قبل المطابقة بين المساحة والتكامل مطلوب: المساحة لا تساوي $I$ إلا إذا كان $f \geq 0$ .

مجموع نقط السؤال 1,5 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

المكاملة بالأجزاء تمنح النقط قبل النتيجة نفسها: نصف سلم التنقيط يكافئ الإعداد، وليس الحساب النهائي.

اكتب بوضوح $u (x)$ و $v^{'} (x)$ ، ثم $u^{'} (x)$ و $v (x)$ : هذه السطور الأربعة مُنقَّطة حتى لو أخطأت بعد ذلك.
انقل الصيغة $[u v]_{a}^{b} - \int u^{'} v d x$ : هذا التذكير بالدرس يمنح نقطة بمعزل عن تكاملك.
اختر دائما الحدودية ( $x$ ) كـ $u$ لتشتقها وتجعلها تختفي: اختيار $u = e^{x}$ يجعلك تدور في حلقة مفرغة.
بالنسبة للمساحة، اكتب صراحة « $f \geq 0$ على $[0; 1]$ إذن $A = I$ » ولا تنس وحدة المساحة: هذه الكلمة تساوي نقطا.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

ورقة ناقصة: يكتب التلميذ مباشرة $I = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x$ دون الإعلان عن $u$ و $v^{'}$ و $u^{'}$ و $v$ ، ثم يخطئ في إشارة الحاصرة ويجد $I = 2 e - 1$ . يفقد كل الإعداد وينشر الخطأ حتى المساحة.

ورقة كاملة: يضع التلميذ $u = x$ و $v^{'} = e^{x}$ و $u^{'} = 1$ و $v = e^{x}$ ، ويكتب الصيغة، ويطبق المكاملة بالأجزاء، ويحسب الحاصرة $e$ والتكامل $e - 1$ ، ويستنتج $I = 1$ ، ثم يبرر $f \geq 0$ ليعطي $A = 1$ وحدة المساحة. كل سطر يلتقط نقطته.