🎲 الاحتمالات سؤال على 1,75 نقطة

الشجرة، الاحتمالات التامة وبايز

أين تذهب النقط في تمرين الاحتمالات الشرطية: الشجرة، الاحتمالات التامة والصيغة المعكوسة.

📋 نص السؤال

يُنتج مصنعٌ مكوّناتٍ إلكترونيةً بواسطة آلتين $M_{1}$ و $M_{2}$ . تُنتج الآلة $M_{1}$ نسبة $60%$ من المكوّنات وتُنتج الآلة $M_{2}$ الباقي. نُلاحظ أنّ $3%$ من المكوّنات الناتجة عن $M_{1}$ معيبة، بينما $5%$ من تلك الناتجة عن $M_{2}$ معيبة.

نسحب مكوّنًا عشوائيًا من الإنتاج. نعتبر الحدثين:

$M$ : «المكوّن ناتج عن الآلة $M_{1}$ »؛
$D$ : «المكوّن معيب».

1) ترجم معطيات النص بواسطة شجرة الاحتمالات.

2) احسب $p (M \cap D)$ ، احتمال أن يكون المكوّن ناتجًا عن $M_{1}$ ومعيبًا.

3) بيّن، باستعمال صيغة الاحتمالات التامة، أنّ $p (D) = 0, 038$ .

4) سُحب مكوّنٌ فكان معيبًا. احسب احتمال أن يكون ناتجًا عن الآلة $M_{1}$ ، أي $p_{D} (M)$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

نضع $p (M) = 0, 6$ و $p (\overline{M}) = 0, 4$ ، ثم نضع على الأغصان المنطلقة من $M$ : $p_{M} (D) = 0, 03$ و $p_{M} (\overline{D}) = 0, 97$ .
+0,25

💡 الترجمة الصحيحة للنسب المئوية إلى احتمالات واحتمالات شرطية تُنقّط: المصحح يُثمّن قراءة النص.
2

نُكمل الشجرة بالأغصان المنطلقة من $\overline{M}$ : $p_{\overline{M}} (D) = 0, 05$ و $p_{\overline{M}} (\overline{D}) = 0, 95$ .
+0,25

💡 شجرة كاملة ومنسجمة (مجموع الأغصان عند كل عقدة يساوي $1$ ) تمنح نقطًا بصرف النظر عن الحسابات التي تليها.
3

نكتب صيغة التقاطع ثم نطبّق: $p (M \cap D) = p (M) \times p_{M} (D) = 0, 6 \times 0, 03 = 0, 018$ .
+0,25

💡 وضع صيغة التقاطع قبل التطبيق العددي، ثم الحساب، يُبرَّم في سلم التنقيط.
4

نُصرّح بصيغة الاحتمالات التامة: $p (D) = p (M) \times p_{M} (D) + p (\overline{M}) \times p_{\overline{M}} (D)$ .
+0,25

💡 التصريح الصريح بصيغة الاحتمالات التامة يُظهر التحكّم في المنهجية ويمنح نقطًا حتى دون النتيجة النهائية.
5

نحسب: $p (D) = 0, 018 + 0, 4 \times 0, 05 = 0, 018 + 0, 02 = 0, 038$ .
+0,25

💡 الحساب المُفضي إلى القيمة المنتظرة $p (D) = 0, 038$ يُغلق السؤال الثالث.
6

نضع صيغة الاحتمال الشرطي المعكوس: $p_{D} (M) = \frac{p ( M \cap D )}{p ( D )}$ .
+0,25

💡 وضع تعريف الاحتمال الشرطي (من نوع بايز) يُنقّط بصرف النظر عن الحساب.
7

نطبّق ونؤوّل: $p_{D} (M) = \frac{0 , 018}{0 , 038} \approx 0, 474$ ، أي حوالي $47, 4%$ من المكوّنات المعيبة ناتجة عن $M_{1}$ .
+0,25

💡 التطبيق العددي الصحيح لصيغة بايز، مُكمَّلًا بتأويل ضمن السياق، يُنهي التنقيط.

مجموع نقط السؤال 1,75 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى دون إتمام التمرين، عدة نقط في متناولك:

ارسم شجرة الاحتمالات كاملة وصحيحة: تمنحك نقطًا دون أيّ حساب، بمجرّد ترجمة النسب المئوية إلى احتمالات.
اكتب صيغة الاحتمالات التامة $p (D) = p (M) \times p_{M} (D) + p (\overline{M}) \times p_{\overline{M}} (D)$ قبل أيّ حساب: تُنقّط الصيغة حتى لو أخطأت في العدد النهائي.
ضع دائمًا $p_{D} (M) = \frac{p ( M \cap D )}{p ( D )}$ : هذا السطر يمنح نقطًا حتى لو كان الخارج النهائي خاطئًا أو غير مُختزَل.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

التلميذ الذي يكتب مباشرة « $0, 6 \times 0, 03 = 0, 018$ » ثم « $p (D) = 0, 038$ » و«الجواب $\approx 0, 474$ »، دون أن يضع قطّ الصيغتين $p (M \cap D) = p (M) \times p_{M} (D)$ ولا صيغة الاحتمالات التامة، يفقد نصف النقط: النتائج صحيحة لكن المنهجية غير مُبرهَنة. أمّا التلميذ الذي يضع كلّ صيغة قبل تطبيقها العددي، ويُكمل الشجرة ويؤوّل النتيجة النهائية، فيبلغ النقطة القصوى. في باكالوريا العلوم الرياضية، الصيغة المكتوبة تُساوي غالبًا قدر النتيجة.