🔑 الحسابيات سؤال على 3 نقطة

حل معادلة ديوفانتية في ℤ

أين تُوزَّع النقط بين القاسم المشترك الأكبر (الوجود)، الحل الخاص والحل العام بواسطة مبرهنة كاوس.

📋 نص السؤال

حل في $Z \times Z$ المعادلة $(E) : 7 x + 5 y = 1$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

نحسب $PGCD (7, 5)$ : العددان $7$ و $5$ عددان أوليان مختلفان، إذن $7 \land 5 = 1$ .
+0,25

💡 ينتظر المصحح أولاً تبرير الوجود : بدون القاسم المشترك الأكبر، لا شيء يضمن أن للمعادلة حلولاً.
2

بما أن $7 \land 5 = 1$ ، فإن $1$ يقسم $1$ : حسب مبرهنة بيزو، تقبل المعادلة $(E)$ (على الأقل) حلاً في $Z \times Z$ .
+0,25

💡 الاستنتاج الصريح للوجود بواسطة مبرهنة بيزو يمنحك نقطة حتى وإن لم تجد الباقي.
3

نبحث عن حل خاص : $7 \times 3 + 5 \times (- 4) = 21 - 20 = 1$ ، إذن $(x_{0}, y_{0}) = (3, - 4)$ يصلح.
+0,5

💡 إيجاد زوج حل واحد (بواسطة بيزو أو بالتجريب) هو الخطوة الأكثر ربحاً للنقط ؛ ويمكن التحقق منها بنظرة واحدة.
4

نتحقق : $7 \times 3 + 5 \times (- 4) = 1$ ، إذن $(3, - 4)$ هو فعلاً حل للمعادلة $(E)$ .
+0,25

💡 التحقق المكتوب يؤمّن نقط الحل الخاص ويتجنّب بناء الباقي على خطأ.
5

ليكن $(x, y)$ حلاً للمعادلة $(E)$ . بطرح $7 x_{0} + 5 y_{0} = 1$ من $7 x + 5 y = 1$ ، نحصل على $7 (x - 3) = - 5 (y + 4)$ .
+0,5

💡 طرح المتساويتين هو محور الاستدلال : فهو يحوّل المعادلة إلى علاقة قابلية القسمة.
6

بما أن $7 ∣ 5 (y + 4)$ و $7 \land 5 = 1$ ، فإن مبرهنة كاوس تعطي $7 ∣ (y + 4)$ ، إذن يوجد $k \in Z$ بحيث $y + 4 = - 7 k$ ، أي $y = - 4 - 7 k$ .
+0,5

💡 التطبيق الصحيح لمبرهنة كاوس (أولي مع ⇒ يقسم العامل الآخر) هو جوهر السؤال ويُثمَّن كثيراً.
7

بالتعويض : $7 (x - 3) = - 5 \times (- 7 k) = 35 k$ ، ومنه $x - 3 = 5 k$ ، أي $x = 3 + 5 k$ .
+0,25

💡 إعادة التعويض للتعبير عن $x$ بدلالة $k$ تُبيّن أن الصيغة العامة منسجمة.
8

عكسياً، كل زوج $(3 + 5 k, - 4 - 7 k)$ يحقق $(E)$ ، إذن $S = {(3 + 5 k, - 4 - 7 k) ∣ k \in Z}$ .
+0,5

💡 الاستنتاج بمجموعة الحلول (والعكس) يُغلق الاستدلال ويمنح النقط الأخيرة.

مجموع نقط السؤال 3 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى دون الوصول إلى النهاية، فإن كل لبنة من لبنات الاستدلال تُثمَّن على حدة. استهدف النقط السهلة بالترتيب :

برّر $7 \land 5 = 1$ : سطر واحد يمنحك وجود الحلول بواسطة مبرهنة بيزو، مضمون في بداية السؤال.
جد حلاً خاصاً واحداً، ولو بالتجريب (جرّب قيماً صغيرة إلى أن تصل إلى $7 \times 3 + 5 \times (- 4) = 1$ ) : إنها الخطوة الأكثر ربحاً ولا تتطلب أي نظرية.
اكتب مبرهنة كاوس بشكل سليم ( $7 \land 5 = 1$ و $7 ∣ 5 (y + 4) \Rightarrow 7 ∣ (y + 4)$ ) : ذكر المبرهنة وتطبيقها يمنح النقط حتى وإن لم تستنتج المجموعة النهائية.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

صيغة جزئية (≈ نصف النقط) : يكتب التلميذ $7 \land 5 = 1$ ، ويعطي $(3, - 4)$ ويتوقف. يحصل على الوجود والحل الخاص، لكنه يفقد كل كتلة كاوس + الصيغة العامة.

صيغة كاملة (كل النقط) : يبرّر التلميذ $7 \land 5 = 1$ (بيزو)، يُبرز ويتحقق من $(3, - 4)$ ، يطرح المتساويتين للحصول على $7 (x - 3) = - 5 (y + 4)$ ، يطبّق كاوس للحصول على $7 ∣ (y + 4)$ ، ثم يستنتج $S = {(3 + 5 k, - 4 - 7 k) ∣ k \in Z}$ . الفرق يتحدّد كلياً في الانتقال من حل واحد إلى جميع الحلول.