🧱 البنيات الجبرية سؤال على 2,5 نقطة

إثبات أن جزءًا زمرة جزئية

كل بديهية من معيار الزمرة الجزئية يتم التحقق منها تُكسبك نقطها، حتى ولو بشكل منفصل.

📋 نص السؤال

نزوّد $R^{*}$ بالضرب الاعتيادي $\times$ . نُسلّم بأن $(R^{*}, \times)$ زمرة عنصرها المحايد $1$ . نعتبر الجزء $H = {2^{n} : n \in Z}$ .

بيّن أن $(H, \times)$ زمرة جزئية من $(R^{*}, \times)$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

تبرير أن $H \subset R^{*}$ : لكل $n \in Z$ ، لدينا $2^{n} > 0$ إذن $2^{n} \in R^{*}$ .
+0,25

💡 التحقق من التضمّن $H \subset G$ مطلوب : بدونه، الحديث عن زمرة جزئية لا معنى له.
2

بيّن أن $H \neq = \emptyset$ : العنصر المحايد $1 = 2^{0}$ يُكتب على الشكل المطلوب، إذن $1 \in H$ .
+0,5

💡 إظهار العنصر المحايد داخل $H$ يُثبت في آنٍ واحد أن $H \neq = \emptyset$ ويُهيّئ البنية : نقطة شبه تلقائية.
3

نأخذ عنصرين كيفما كانا من $H$ : ليكن $x, y \in H$ ، يوجد $n, m \in Z$ بحيث $x = 2^{n}$ و $y = 2^{m}$ .
+0,25

💡 وضع عنصرين عامّين بشكل صحيح مع كتابتيهما هو أساس كل إثبات للاستقرار.
4

حساب مماثل $y$ : $y^{- 1} = 2^{- m}$ مع $- m \in Z$ ، إذن $y^{- 1} \in H$ .
+0,5

💡 الاستقرار بالمرور إلى المماثل بديهية قائمة بذاتها في المعيار وتُكسب نقطها بشكل منفصل.
5

بيّن الاستقرار : $x \times y^{- 1} = 2^{n} \times 2^{- m} = 2^{n - m}$ مع $n - m \in Z$ ، إذن $x \times y^{- 1} \in H$ .
+0,5

💡 هذا هو جوهر المعيار في خطوة واحدة $\forall x, y \in H, x \times y^{- 1} \in H$ : السطر الأكثر قيمة.
6

ذكر المعيار المستعمل : $H$ غير فارغ و $\forall x, y \in H, x \times y^{- 1} \in H$ .
+0,25

💡 ذكر معيار الزمرة الجزئية صراحةً يُظهر التمكّن من الدرس ويُكسب نقطة.
7

نستنتج : إذن $(H, \times)$ زمرة جزئية من $(R^{*}, \times)$ .
+0,25

💡 جملة الاستنتاج تُغلق الاستدلال ؛ وتُنقّط حتى لو أُنجزت خطوة وسيطة بإهمال.

مجموع نقط السؤال 2,5 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

في إثبات زمرة جزئية، تُوزَّع النقط سطرًا بسطر : لست بحاجة إلى النجاح في كل شيء لتقتنص النقط.

ضع العنصر المحايد أولًا : كتابة أن $1 = 2^{0} \in H$ إذن $H \neq = \emptyset$ شبه تلقائية وتساوي غالبًا $0, 5$ نقطة.
اذكر المعيار : كتابة $\forall x, y \in H, x \times y^{- 1} \in H$ تُكسب نقطة حتى قبل أي حساب، لأنها تُثبت أنك تعرف الدرس.
تحقّق من كل بديهية على حدة : إذا أخفقت في الاستقرار بالجداء، يبقى المماثل $y^{- 1} \in H$ والتضمّن $H \subset G$ مكتسبَين بشكل مستقل.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

النسخة الجزئية (≈ نصف النقط) : يكتب التلميذ فقط « إذا كان $x = 2^{n}$ و $y = 2^{m}$ فإن $x \times y = 2^{n + m} \in H$ »، دون التحقق من أن $H \neq = \emptyset$ ولا من أن $y^{- 1} \in H$ . يُصادق المصحح على الاستقرار بالجداء لكنه يخصم نقط العنصر المحايد والمماثل.

النسخة الكاملة : تتحقق من $H \subset R^{*}$ ، تُظهر $1 = 2^{0} \in H$ (إذن $H \neq = \emptyset$ )، تضع $x, y \in H$ عامّين، تُبيّن $y^{- 1} \in H$ ثم $x \times y^{- 1} \in H$ ، وتستنتج بالمعيار. كل نقط سلم التنقيط مُؤمّنة.