🌀 المعادلات التفاضلية سؤال على 4 نقطة

حل معادلة تفاضلية (من الرتبة الثانية)

المعادلة المميزة، الشكل العام للحلول، الشروط البدئية: أين يضع المصحح كل نقطة.

📋 نص السؤال

نعتبر المعادلة التفاضلية (E) : $y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0$ ، حيث $y$ دالة قابلة للاشتقاق مرتين على $R$ .

1) حل المعادلة التفاضلية (E).

2) حدد الحل $f$ للمعادلة (E) الذي يحقق $f (0) = 1$ و $f^{'} (0) = 0$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

نكتب المعادلة المميزة المرتبطة بـ (E) : $r^{2} - 5 r + 6 = 0$ .
+0,5

💡 هذه نقطة الانطلاق في الدرس: ربط (E) بمعادلتها المميزة عمل آلي يكافئ عليه المصحح تلقائيا.
2

نحسب المميز : $Δ = (- 5)^{2} - 4 \times 6 = 25 - 24 = 1$ ، إذن $Δ > 0$ .
+0,5

💡 إشارة $Δ$ تحدد شكل الحلول؛ والحساب يبرر الحالة الحقيقية المختارة بعد ذلك.
3

نحدد الجذرين : $r_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ و $r_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ .
+0,5

💡 جذران حقيقيان متمايزان: هذه هي النتيجة التقنية المركزية في السؤال الأول.
4

نعطي الشكل العام للحلول : $y = A e^{2 x} + B e^{3 x}$ ، حيث $A \in R$ و $B \in R$ .
+0,5

💡 كتابة الشكل $y = A e^{r_{1} x} + B e^{r_{2} x}$ بشكل صحيح تنهي السؤال الأول وتساوي نقطة كاملة حتى لو بقيت الثابتتان حرتين.
5

نترجم $f (0) = 1$ : $A e^{0} + B e^{0} = A + B = 1$ .
+0,5

💡 المعادلة الأولى في النظمة: تعويض $x = 0$ في $f$ عمل آلي يربح نقاطا دون حساب صعب.
6

نشتق $f$ ثم نترجم $f^{'} (0) = 0$ : $f^{'} (x) = 2 A e^{2 x} + 3 B e^{3 x}$ ، ومنه $2 A + 3 B = 0$ .
+0,5

💡 المعادلة الثانية: الاشتقاق الصحيح والتعويض يعطيان النظمة كاملة، وهي أكثر مرحلة يثمنها المصحح.
7

نحل النظمة $(A + B = 1; 2 A + 3 B = 0)$ : نحصل على $B = - 2$ و $A = 3$ .
+0,5

💡 حل النظمة يحدد الثابتتين بشكل كامل؛ وبدونه لا يكون الحل صريحا.
8

نستنتج : $f (x) = 3 e^{2 x} - 2 e^{3 x}$ .
+0,5

💡 الاستنتاج الصريح، القابل للتحقق عبر $f (0) = 1$ و $f^{'} (0) = 0$ ، يصادق على السؤال الثاني بأكمله.

مجموع نقط السؤال 4 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى لو علقت، هذا الموضوع منجم لنقاط سهلة إذا كنت تعرف الانعكاس الصحيح:

اكتب المعادلة المميزة $r^{2} - 5 r + 6 = 0$ فورا : هذه نقطة شبه آلية، لا تتطلب أي تفكير.
أعطِ الشكل العام $y = A e^{2 x} + B e^{3 x}$ حتى دون معرفة $A$ و $B$ : المصحح يدفع مقابل الشكل، لا مقابل الثابتتين النهائيتين فقط.
ضع نظمة الشروط البدئية حتى دون حلها : كتابة $A + B = 1$ و $2 A + 3 B = 0$ تربح نقاطا أصلا، وخطأ حسابي بسيط في الحل لا يفقدك سوى السطر الأخير.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

نسخة متسرعة (≈ نصف النقط) : « $r^{2} - 5 r + 6 = 0$ ، الجذران $2$ و $3$ ، إذن $y = A e^{2 x} + B e^{3 x}$ . » يتوقف التلميذ هنا، ولا يعالج الشروط البدئية: السؤال الأول مصادق عليه، لكن السؤال الثاني بأكمله (النظمة والحل الصريح) ضائع.

نسخة كاملة (كل النقط) : المعادلة المميزة → المميز → الجذران → الشكل العام → ترجمة $f (0) = 1$ و $f^{'} (0) = 0$ إلى نظمة → حل النظمة ( $A = 3$ ، $B = - 2$ ) → الاستنتاج $f (x) = 3 e^{2 x} - 2 e^{3 x}$ . كل سهم سطر مدفوع؛ والحل النهائي، القابل للتحقق، يختم النقطة القصوى.