📐 الهندسة الفضائية سؤال على 3,75 نقطة

معادلة مستوى والمسافة من نقطة إلى مستوى

المتجهات، الجداء المتجهي، المعادلة الديكارتية للمستوى، المسافة من نقطة إلى مستوى: أين تتوزع النقط.

📋 نص السؤال

في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O, i, j, k)$ ، نعتبر النقط $A (1, 0, 2)$ و $B (3, 1, 2)$ و $C (1, 2, 4)$ و $D (4, 3, 1)$ .

1) حدد معادلة ديكارتية للمستوى $(A B C)$ .

2) احسب المسافة من النقطة $D$ إلى المستوى $(A B C)$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

نحسب المتجهتين الموجهتين: $A B (2, 1, 0)$ و $A C (0, 2, 2)$ .
+0,5

💡 متجهتان من المستوى، غير مرتبطتين خطياً: هما أساس كل ما يلي. يمنح المصحح النقطة بمجرد أن تكون عمليات طرح المركّبات صحيحة.
2

نضع $n = A B \land A C$ كمتجهة منظمية للمستوى.
+0,25

💡 الإعلان أن الجداء المتجهي يعطي متجهة منظمية يبيّن أنك تملك الاستراتيجية الصحيحة: نقطة منهجية مضمونة حتى قبل أي حساب.
3

الحساب مركّبة مركّبة: $n (1 \times 2 - 0 \times 2, 0 \times 0 - 2 \times 2, 2 \times 2 - 1 \times 0)$ أي $n (2, - 4, 4)$ .
+0,75

💡 قلب التمرين. تُحتسب كل مركّبة صحيحة؛ يمكن الاختزال بـ $2$ إلى $n (1, - 2, 2)$ لتخفيف ما يلي.
4

نستنتج شكل المعادلة: $x - 2 y + 2 z + d = 0$ حيث $(1, - 2, 2)$ مركّبات $n$ .
+0,5

💡 ربط المعاملات $(a, b, c)$ بمركّبات المتجهة المنظمية هو بالضبط ما ينتظره المصحح هنا.
5

نعوّض $A (1, 0, 2)$ : $1 - 0 + 4 + d = 0 \Rightarrow d = - 5$ . ومنه $(A B C) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0$ .
+0,5

💡 تحديد $d$ باستعمال نقطة من المستوى ينهي السؤال الأول. المعادلة الكاملة مطلوبة للحصول على النقط كاملة.
6

نصرّح بالصيغة: $d (D, (A B C)) = \frac{∣ a x _{D} + b y _{D} + c z _{D} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
+0,5

💡 الصيغة الصحيحة، بالقيمة المطلقة في البسط ومعيار $n$ في المقام، تُكسبك نقطاً حتى قبل أي حساب عددي.
7

التطبيق: $\frac{∣ 4 - 2 \times 3 + 2 \times 1 - 5 ∣}{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{∣ - 5 ∣}{9}$ .
+0,5

💡 تعويض صحيح لمركّبات $D$ ولـ $d$ ، ثم تبسيط المعيار $9 = 3$ : حساب نظيف، نقط محصّلة.
8

الخلاصة: $d (D, (A B C)) = \frac{5}{3}$ .
+0,25

💡 النتيجة النهائية المؤطَّرة تختم بنظافة وتؤمّن الربع الأخير من النقطة.

مجموع نقط السؤال 3,75 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى دون الوصول إلى النهاية، يُجمَع نصف النقط على المنهجية:

احسب بشكل صحيح $A B$ و $A C$ : عمليتا طرح للمركّبات، لا صفر أبداً إن كانتا صحيحتين.
اكتب $n = A B \land A C$ وأعلن أنها متجهة منظمية: هذه هي النقطة المفتاحية في التمرين، حتى وإن انحرف حساب المركّبات بعد ذلك.
اكتب الصيغة $d (D, (A B C)) = \frac{∣ a x _{D} + b y _{D} + c z _{D} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ قبل التطبيق العددي: الصيغة وحدها تُحتسب، حتى لو لم تحصل على $n$ الصحيحة.
فكّر في اختزال $n (2, - 4, 4)$ إلى $(1, - 2, 2)$ : حسابات أخف، أخطاء سهو أقل.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

نسخة «نصف النقط»: يجد التلميذ فعلاً $(A B C) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0$ ، لكنه يكتب المسافة على شكل $\frac{a x _{D} + b y _{D} + c z _{D} + d}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ — دون قيمة مطلقة ومع $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ بدل $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ . نتيجة خاطئة وصيغة خاطئة: ينهار السؤال الثاني.

النسخة الكاملة: قيمة مطلقة في البسط، $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ في المقام، تعويض صريح لمركّبات $D$ ، ثم $d (D, (A B C)) = \frac{5}{3}$ مؤطَّرة. صيغة مكتوبة بنظافة تحمي كل نقط الحساب التي تليها.