📊 اللوغاريتم والأسية سؤال على 3,75 نقطة

دراسة دالة بها لوغاريتم

حيز التعريف، النهايات، المشتقة، جدول التغيرات: كل خطوة في دراسة دالة بها $\ln$ تمنحك نقطها.

📋 نص السؤال

نعتبر الدالة العددية $f$ المعرفة على حيز تعريفها بـ $f (x) = x - ln x$ .

حدد حيز التعريف $D_{f}$ للدالة $f$ .
احسب $x \to 0^{+} lim f (x)$ و $x \to + \infty lim f (x)$ ، ثم أول هندسياً النتيجة عند $0^{+}$ .
احسب $f^{'} (x)$ لكل $x \in D_{f}$ وادرس إشارتها.
أنجز جدول التغيرات للدالة $f$ واستنتج القيمة الدنيا للدالة $f$ على $D_{f}$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

$ln x$ موجود إذا وفقط إذا كان $x > 0$ ، إذن $D_{f} =] 0; + \infty [$ .
+0,5

💡 حيز التعريف هو أول شيء يُتحقق منه: الشرط $x > 0$ الذي يفرضه $ln x$ يمنح النقطة بشكل شبه تلقائي.
2

$x \to 0^{+} lim x = 0$ و $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ ، إذن $x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty$ .
+0,5

💡 النهاية عند $0^{+}$ تُعالج بالمجموع: $0 - (- \infty) = + \infty$ . لا توجد أي صيغة غير محددة، والنقطة تُمنح إذا كانت نهاية $ln$ معروفة.
3

نؤول: المستقيم ذو المعادلة $x = 0$ (محور الأراتيب) مقارب عمودي للمنحنى.
+0,25

💡 التأويل الهندسي للنهاية اللانهائية عند $0^{+}$ يُنقط على حدة: تكفي جملة واحدة.
4

$f (x) = x (1 - \frac{ln x}{x})$ و $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ (النموات المقارنة)، إذن $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .
+0,5

💡 النهاية عند $+ \infty$ هي صيغة غير محددة $\infty - \infty$ تُرفع بالنموات المقارنة: ذكر $lim \frac{l n x}{x} = 0$ يمنح النقطة.
5

$f$ قابلة للاشتقاق على $] 0; + \infty [$ و $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ .
+0,5

💡 حساب المشتقة مستقل عن الباقي: يُنقط حتى لو فشلت دراسة الإشارة بعد ذلك.
6

بما أن $x > 0$ ، فإن إشارة $f^{'} (x)$ هي إشارة $x - 1$ : $f^{'} (x) < 0$ على $] 0; 1 [$ و $f^{'} (x) > 0$ على $] 1; + \infty [$ ، مع $f^{'} (1) = 0$ .
+0,5

💡 دراسة الإشارة تنتج عن المشتقة: نعزل العامل $x - 1$ لأن $x > 0$ . النقطة الحرجة $x = 1$ هي العنصر الأساسي في الجدول.
7

تقبل $f$ قيمة دنيا عند $x = 1$ تساوي $f (1) = 1 - ln 1 = 1$ .
+0,25

💡 حساب قيمة القيمة القصوى $f (1) = 1$ نقطة مستقلة عن تحديد النقطة الحرجة.
8

جدول التغيرات: $f$ تناقصية على $] 0; 1]$ من $+ \infty$ إلى $1$ ، ثم تزايدية على $[1; + \infty [$ من $1$ إلى $+ \infty$ .
+0,5

💡 جدول التغيرات يلخص النهايات وإشارة $f^{'}$ والقيمة القصوى: إذا قُدِّم جيداً بالأسهم والقيم عند الحدود، فإنه يمنح نقطته.
9

خلاصة: لكل $x \in] 0; + \infty [$ ، $f (x) \geq 1$ ، إذن $f$ مصغورة بـ $1$ .
+0,25

💡 الخلاصة المستثمِرة للقيمة الدنيا (المتفاوتة $f (x) \geq 1$ ) تُثمّن الدراسة وغالباً ما تُهيئ لسؤال لاحق.

مجموع نقط السؤال 3,75 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

دراسة دالة هي أكثر مسألة قابلة للتجزيء في سلم التنقيط: كل خطوة تُنقط بشكل مستقل، حتى لو توقفت عند سؤال ما.

حيز التعريف نقطة مجانية: بمجرد أن ترى $ln x$ ، اكتب « $ln x$ موجود لأجل $x > 0$ إذن $D_{f} =] 0; + \infty [$ ». تُنقط بشكل مؤكد.
كل نهاية تمنح نقطتها وحدها: حتى لو أخطأت في النهاية عند $+ \infty$ ، فإن النهاية عند $0^{+}$ تمنحك نقطتها. عالجهما بشكل منفصل واذكر دائماً $x \to + \infty lim \frac{l n x}{x} = 0$ .
حساب $f^{'} (x)$ مستقل عن الإشارة: اكتب $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ بشكل سليم؛ تحتفظ بهذه النقطة حتى لو أخطأت بعد ذلك في الإشارة.
الجدول المُقدَّم جيداً يُنقط: الأسهم، والقيم عند الحدود وعند النقطة الحرجة. انقل إليه كل ما وجدته، فهو واجهة عملك.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

نسخة « التغيرات دون تبرير » (≈ نصف النقط): يكتب التلميذ مباشرة « $f$ تتناقص ثم تتزايد، قيمة دنيا عند $1$ » ويرسم جدولاً، دون إعطاء $D_{f}$ ، ودون حساب النهايات عند الحدود، ودون توضيح إشارة $f^{'}$ . لا يمكن للمصحح أن يمنح سوى هيكل الجدول: نقط حيز التعريف، والنهايتين، وتبرير الإشارة تُفقد.

النسخة الكاملة: نضع $D_{f} =] 0; + \infty [$ ، ونحسب $x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty$ و $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ مع التبرير (النموات المقارنة)، ونشتق $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}$ ، وندرس إشارتها انطلاقاً من $x - 1$ (لأن $x > 0$ )، ثم ننجز الجدول ونستنتج $f (x) \geq 1$ . كل حلقة مبررة: يُسترجع سلم التنقيط بكامله.