🧭 الأعداد العقدية سؤال على 3,5 نقطة

الأعداد العقدية (العلوم التجريبية)

باكالوريا العلوم التجريبية: أين تذهب النقط بين الشكل المثلثي والقراءة الهندسية.

📋 نص السؤال

نعتبر العدد العقدي $z = 1 + i 3$ .

1) اكتب $z$ على الشكل المثلثي.

2) في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر، نعتبر النقط $A$ و $B$ و $C$ ذات اللصيقات على التوالي $a = 2$ و $b = 1 + i 3$ و $c = - 1 + i 3$ . بين أن المثلث $O B C$ متساوي الساقين، ثم حدد طبيعة المثلث $O A B$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

حساب الطويلة: $∣ z ∣ = 1^{2} + (3)^{2} = 4 = 2$
+0,5

💡 الطويلة هي أول نقطة مضمونة: طبّق مباشرة الصيغة $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ .
2

تحديد العمدة: $cos θ = \frac{1}{2}$ و $sin θ = \frac{3}{2}$ إذن $ar g (z) = \frac{π}{3}$
+0,5

💡 المصحح يطلب السطرين معاً (جيب التمام والجيب) لتحديد العمدة دون التباس.
3

استنتاج الشكل المثلثي: $z = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$
+0,5

💡 لا تُكتسب النقطة إلا بالكتابة النهائية السليمة، مع وضع الطويلة كعامل.
4

حساب $O B = ∣ b ∣ = 2$ و $O C = ∣ c ∣ = (- 1)^{2} + (3)^{2} = 2$
+0,5

💡 بالنسبة للمثلث، نترجم كل ضلع إلى طويلة لصيقة: هذه هي الأداة المنتظرة.
5

استنتاج $O B = O C$ إذن المثلث $O B C$ متساوي الساقين في $O$
+0,5

💡 بدون جملة الاستنتاج التي تسمي الرأس، يضيع نصف النقطة.
6

حساب $A B = ∣ b - a ∣ = ∣ - 1 + i 3 ∣ = 2$ و $O A = ∣ a ∣ = 2$ ، $O B = ∣ b ∣ = 2$
+0,5

💡 نقارن الأطوال الثلاثة للمثلث $O A B$ عبر طوائل فروق اللصيقات.
7

استنتاج $O A = O B = A B = 2$ إذن المثلث $O A B$ متساوي الأضلاع
+0,5

💡 ثلاثة أضلاع متساوية: يجب تسمية «متساوي الأضلاع» صراحةً لكسب النقطة.

مجموع نقط السؤال 3,5 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى عند التعثر، هذه النقط سهلة الاكتساب:

اكتب دائماً $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ قبل الحساب: الصيغة المكتوبة تساوي غالباً نصف نقطة.
بالنسبة لطول هندسي، فكّر في «طويلة فرق اللصيقات»: $A B = ∣ b - a ∣$ . إنها آلية ومُربحة.
اختم كل سؤال بجملة طبيعة المثلث («متساوي الساقين في $O$ »، «متساوي الأضلاع»): المصحح يبحث عن هذه الكلمة المفتاح.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

النسخة المهملة: « $z = 1 + i 3$ ، الطويلة $2$ ، إذن $z = 2$ عمدته $\frac{π}{3}$ .» العمدة تسقط من السماء بدون $cos$ ولا $sin$ ، والشكل المثلثي لم يُكتب أبداً: نخسر نقطة من أصل 1,5.

النسخة الكاملة: نضع $∣ z ∣ = 1 + 3 = 2$ ، ثم $cos θ = \frac{1}{2}$ و $sin θ = \frac{3}{2}$ يعطيان $θ = \frac{π}{3}$ ، ونستنتج $z = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ . كل مرحلة ظاهرة = كل نقطة مكتسبة.