📉 المتتاليات العددية سؤال على 5 نقطة

متتالية تراجعية (العلوم التجريبية)

أين تذهب النقط في تمرين المتتاليات في الباكالوريا علوم تجريبية: تأطير، رتابة، نهاية.

📋 نص السؤال

نعتبر المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بـ $u_{0} = 0$ ولكل $n \in N$ : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 1$ .

1. بين بالترجع أنه لكل $n \in N$ : $0 \leq u_{n} \leq 2$ .

2. ادرس رتابة المتتالية $(u_{n})$ .

3. استنتج أن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة، ثم حدد نهايتها $ℓ$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

تهيئة الاستدلال بالترجع: التحقق من $0 \leq u_{0} \leq 2$
+0,5

💡 بدون الحلقة الأولى لا ينطلق الاستدلال بالترجع: إنها نقطة « هدية » كثيرا ما تُنسى.
2

صياغة فرضية الترجع بوضوح: نفترض أن $0 \leq u_{n} \leq 2$
+0,25

💡 يريد المصحح أن يرى عبارة « لنفترض أن… من أجل $n$ ثابت » قبل أي حساب.
3

الوراثة: انطلاقا من $0 \leq u_{n} \leq 2$ ، تأطير $u_{n + 1}$ والاستنتاج $0 \leq u_{n + 1} \leq 2$
+1

💡 جوهر السؤال: تطبيق $f$ التزايدية على التأطير ثم الاستنتاج بشكل سليم.
4

خاتمة الاستدلال بالترجع: الخاصية صحيحة لكل $n \in N$
+0,25

💡 الاستدلال بالترجع غير المختوم يفقد آخر جزء من النقطة، حتى لو كان الباقي كله صحيحا.
5

حساب إشارة $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2} (2 - u_{n}) \geq 0$
+1

💡 إنه الحساب الذي يحسم الرتابة؛ التأطير السابق يُستعمل هنا لإعطاء الإشارة.
6

الخاتمة: المتتالية $(u_{n})$ تزايدية
+0,5

💡 الإعلان الصريح عن الطبيعة « التزايدية » يُنهي السؤال الثاني.
7

تبرير التقارب: $(u_{n})$ تزايدية ومكبورة بـ $2$ $\Rightarrow$ متقاربة
+0,75

💡 يجب ذكر مبرهنة التقارب الرتيب لكسب هذه النقط.
8

تحديد النهاية: حل $ℓ = \frac{1}{2} ℓ + 1$ إذن $ℓ = 2$
+0,75

💡 النهاية تحقق $ℓ = f (ℓ)$ ؛ نسيان حسابها يترك السؤال نصف منجز.

مجموع نقط السؤال 5 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى عند التوقف، يمكن جمع عدة نقط دون إنهاء التمرين:

اكتب التهيئة والخاتمة في الاستدلال بالترجع: إنها نقط شبه تلقائية، مستقلة عن الوراثة.
بالنسبة للرتابة، احسب دائما $u_{n + 1} - u_{n}$ وعامِل: هنا $\frac{1}{2} (2 - u_{n})$ ، إشارتها تأتي مباشرة من التأطير.
اذكر المبرهنة « كل متتالية تزايدية ومكبورة تكون متقاربة » حتى لو كنت مترددا: العبارة الصحيحة تربح النقطة.
بالنسبة للنهاية، ضع المعادلة $ℓ = f (ℓ)$ : يمكنك حلها حتى لو لم يكتمل السؤال السابق.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

مهملة: « $(u_{n})$ تتزايد و $ℓ = 2$ » دون استدلال بالترجع ولا ذكر للمبرهنة: تسقط أغلب النقط.

كاملة: التهيئة $u_{0} = 0$ ، الوراثة $0 \leq \frac{1}{2} u_{n} \leq 1$ إذن $1 \leq u_{n + 1} \leq 2$ ، الخاتمة؛ ثم $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2} (2 - u_{n}) \geq 0$ (تزايدية)؛ وأخيرا « تزايدية ومكبورة بـ $2$ إذن متقاربة » و $ℓ = \frac{1}{2} ℓ + 1 \Rightarrow ℓ = 2$ . كل حلقة ظاهرة = كل نقطة.