📊 اللوغاريتم سؤال على 4,5 نقطة

دراسة دالة بها $\ln$ (علوم تجريبية)

حيز التعريف، النهايات، المشتقة، جدول التغيرات: أين تذهب النقط في باكالوريا علوم تجريبية.

📋 نص السؤال

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $] 0; + \infty [$ بما يلي: $f (x) = x - ln x$ .

حدد حيز تعريف الدالة $f$ .
احسب $x \to 0^{+} lim f (x)$ و $x \to + \infty lim f (x)$ .
احسب $f^{'} (x)$ لكل $x$ من $] 0; + \infty [$ ، ثم ادرس إشارتها.
ضع جدول تغيرات الدالة $f$ .
استنتج أن $f (x) > 0$ لكل $x > 0$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

حيز التعريف: $ln x$ يتطلب $x > 0$ ، إذن $D_{f} =] 0; + \infty [$ .
+0,5

💡 تبرير الشرط $x > 0$ للوغاريتم، وليس فقط نقل المعطى.
2

النهاية عند $0^{+}$ : $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ إذن $x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty$ .
+0,5

💡 المصحح يريد رؤية نهاية $ln x$ مذكورة، ثم $0 - (- \infty) = + \infty$ .
3

النهاية عند $+ \infty$ : $f (x) = x (1 - \frac{ln x}{x})$ و $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ ، إذن $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .
+0,75

💡 النموات المقارنة $\frac{ln x}{x} \to 0$ هي الحجة الأساسية: بدونها نحصل على حالة عدم تحديد $+ \infty - \infty$ .
4

المشتقة: $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ .
+0,5

💡 مشتقة $ln x$ تساوي $\frac{1}{x}$ ؛ التوحيد على نفس المقام يسهل دراسة الإشارة.
5

إشارة $f^{'}$ : على $] 0; + \infty [$ ، $x > 0$ إذن الإشارة هي إشارة $x - 1$ ؛ $f^{'} (x) < 0$ على $] 0; 1 [$ و $f^{'} (x) > 0$ على $] 1; + \infty [$ .
+0,5

💡 تبرير أن المقام $x$ موجب، وإلا فإن الإشارة غير صحيحة.
6

القيمة الحدية: الدالة $f$ تقبل قيمة دنيا عند $x = 1$ ، حيث $f (1) = 1 - ln 1 = 1$ .
+0,5

💡 حساب القيمة $f (1) = 1$ وعدم الاكتفاء بقول «توجد قيمة دنيا».
7

جدول التغيرات: $f$ تناقصية على $] 0; 1 [$ ، تزايدية على $] 1; + \infty [$ ، مع نهايتين $+ \infty$ عند الطرفين وقيمة دنيا $1$ .
+0,75

💡 يجب أن يُظهر الجدول النهايتين، القيمة $1$ والأسهم المنسجمة.
8

الخلاصة: القيمة الدنيا للدالة $f$ تساوي $1 > 0$ ، إذن $f (x) \geq 1 > 0$ لكل $x > 0$ .
+0,5

💡 الربط الصريح بين القيمة الدنيا والإشارة: «أصغر قيمة موجبة إذن كل القيم موجبة».

مجموع نقط السؤال 4,5 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى لو توقفت، هذه النقط تُجمع دائماً تقريباً:

حيز التعريف مُهدى: $ln x$ موجود $⟺ x > 0$ ، إذن $D_{f} =] 0; + \infty [$ . سطر واحد، نصف نقطة.
النهاية عند $0^{+}$ تتطلب فقط $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ . ضعها واستنتج.
المشتقة تمنح نقطاً حتى لو أخطأت في الباقي: $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x}$ تُحسب حداً حداً.
الجدول يُنقَّط على انسجامه: انقل نهاياتك وقيمتك عند $1$ .

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

متسرعة: جدول مرسوم بدون حيز التعريف، بدون نهايات مبررة، بدون إشارة $f^{'}$ : الهيكل وحده يُحتسب.

كاملة: $D_{f} =] 0; + \infty [$ ؛ $0^{+} lim f = + \infty$ و $+ \infty lim f = + \infty$ (النموات المقارنة)؛ $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}$ ، إشارة $x - 1$ لأن $x > 0$ ؛ قيمة دنيا $f (1) = 1$ ؛ الخلاصة $f (x) \geq 1 > 0$ . كل «إذن» مبرر يمنح نقطاً.