📈 الدالة الأسية سؤال على 4,5 نقطة

دراسة دالة تتضمن دالة أسية (علوم تجريبية)

النهايات والمشتقة والإشارة وجدول التغيرات لدالة تتضمن دالة أسية (باكالوريا علوم تجريبية).

📋 نص السؤال

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $R$ بما يلي: $f (x) = (x + 1) e^{- x}$ .

نرمز بـ $(C)$ لمنحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم.

احسب $x \to - \infty lim f (x)$ ، ثم $x \to + \infty lim f (x)$ . ثم استنتج مقاربا لـ $(C)$ .
بيّن أنه لكل $x \in R$ : $f^{'} (x) = - x e^{- x}$ .
ادرس إشارة $f^{'} (x)$ وأنشئ جدول تغيرات $f$ .
استنتج القيمة القصوى لـ $f$ على $R$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

النهاية في $- \infty$ : $x \to - \infty lim (x + 1) = - \infty$ و $x \to - \infty lim e^{- x} = + \infty$ ، إذن $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ .
+0,5

💡 جداء نهايتين لانهائيتين لهما نفس السلوك، دون صيغة غير محددة.
2

النهاية في $+ \infty$ : نكتب $f (x) = x e^{- x} + e^{- x}$ ، حيث $x \to + \infty lim x e^{- x} = 0$ (النموات المقارنة) و $x \to + \infty lim e^{- x} = 0$ ، إذن $x \to + \infty lim f (x) = 0$ .
+0,75

💡 النموات المقارنة هي النقطة الأساسية المنتظرة والأكثر إفادة في النقطة.
3

المقارب: المستقيم ذو المعادلة $y = 0$ (محور الأفاصيل) مقارب أفقي لـ $(C)$ بجوار $+ \infty$ .
+0,5

💡 نتيجة مباشرة للنهاية المنعدمة في $+ \infty$ .
4

المشتقة: $f = u \cdot v$ حيث $u = x + 1$ و $v = e^{- x}$ ، إذن $f^{'} (x) = 1 \cdot e^{- x} + (x + 1) \cdot (- e^{- x})$ .
+0,5

💡 تطبيق صحيح لصيغة مشتقة الجداء ولـ $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ .
5

التبسيط: $f^{'} (x) = e^{- x} (1 - (x + 1)) = - x e^{- x}$ .
+0,5

💡 التعميل بـ $e^{- x}$ يعطي الصيغة المطلوبة.
6

إشارة $f^{'} (x)$ : بما أن $e^{- x} > 0$ ، فإن إشارة $f^{'} (x)$ هي إشارة $- x$ ؛ إذن $f^{'} (x) > 0$ من أجل $x < 0$ و $f^{'} (x) < 0$ من أجل $x > 0$ .
+0,5

💡 العامل الأسي الموجب قطعا يختزل الدراسة إلى إشارة $- x$ .
7

جدول التغيرات: $f$ تزايدية على $] - \infty; 0]$ وتناقصية على $[0; + \infty [$ ، مع النهايتين $- \infty$ و $0$ .
+0,75

💡 خلاصة كاملة منتظرة: منحى تغير منسجم مع الإشارة والنهايات.
8

القيمة القصوى: $f$ تقبل قيمة قصوى عند $x = 0$ تساوي $f (0) = (0 + 1) e^{0} = 1$ .
+0,5

💡 قراءة الجدول والحساب الدقيق للقيمة القصوى.

مجموع نقط السؤال 4,5 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى دون إتمام كل الدراسة، يمكن استرجاع عدة نقط بسهولة:

أعلن كل نهاية مع تبريرها: النهاية في $- \infty$ هي جداء دون فخ وتساوي $- \infty$ .
بالنسبة للنهاية في $+ \infty$ ، اذكر صراحة $x \to + \infty lim x e^{- x} = 0$ : إنها أكثر سطر إفادة في النقطة.
أعطِ المشتقة حتى غير معمَّلة: $f^{'} (x) = e^{- x} + (x + 1) (- e^{- x})$ تستحق نقطا أصلا.
ذكّر بأن $e^{- x} > 0$ لكل $x$ : هذه الجملة تبرر كل إشارة $f^{'}$ .

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

مهملة: مشتقة غير معمَّلة، إشارة $f^{'}$ غير مبررة، القيمة القصوى غير محسوبة: نصف النقط يضيع.

كاملة: النهايتان $- \infty$ و $0$ (المقارب $y = 0$ )؛ $f^{'} (x) = - x e^{- x}$ ؛ بما أن $e^{- x} > 0$ ، إشارة $- x$ ؛ $f$ تتزايد ثم تتناقص؛ القيمة القصوى $f (0) = 1$ . العامل $e^{- x} > 0$ المكتوب صراحة يؤمّن كل الإشارة.