∫ الحساب التكاملي سؤال على 4 نقطة

الحساب التكاملي والمساحة (علوم تجريبية)

دالة أصلية أو مكاملة بالأجزاء بسيطة، ثم المساحة بوحدة المساحة: أين تسقط النقط في باكالوريا علوم تجريبية.

📋 نص السؤال

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $R$ بـ $f (x) = x e^{x}$ ، ونرمز بـ $(C)$ لمنحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم.

1. باستعمال المكاملة بالأجزاء، احسب $I = 0 \int 1 x e^{x} d x$ .

2. استنتج المساحة $A$ ، بوحدة المساحة، للحيز المحصور بين المنحنى $(C)$ ، ومحور الأفاصيل، والمستقيمين ذوي المعادلتين $x = 0$ و $x = 1$ .

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

الاختيار الصحيح للدالتين من أجل المكاملة بالأجزاء: $u (x) = x$ و $v^{'} (x) = e^{x}$
+0,5

💡 التقسيم الجيد هو القرار الأساسي: نضع $u = x$ حتى يبسّط المشتق التكامل.
2

حساب $u^{'} (x) = 1$ و $v (x) = e^{x}$
+0,5

💡 دالة أصلية أو مشتق خاطئ يفسد كل شيء: يجب أن تظهر هاتان القيمتان.
3

كتابة الصيغة: $I = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x$
+0,5

💡 تطبيق صيغة المكاملة بالأجزاء: ينتظر المصحح السطر كاملا.
4

حساب قيمة الحاصرة: $[x e^{x}]_{0}^{1} = 1 \cdot e^{1} - 0 \cdot e^{0} = e$
+0,5

💡 خطأ شائع: نسيان أن الحد عند $0$ ينعدم. إظهار تعويض الحدين يؤمّن النقطة.
5

حساب التكامل المتبقي: $0 \int 1 e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1} = e - 1$
+0,5

💡 دالة أصلية مباشرة لـ $e^{x}$ : نقطة سهلة شريطة عدم نسيان الـ $- 1$ .
6

خلاصة الحساب: $I = e - (e - 1) = 1$
+0,5

💡 النتيجة النهائية $I = 1$ منتظرة بشكل واضح وصريح.
7

تبرير الإشارة: على $[0; 1]$ ، $f (x) \geq 0$ إذن المساحة هي $A = 0 \int 1 f (x) d x$
+0,5

💡 بدون هذا التبرير لكون الدالة موجبة، لا يكون الانتقال من التكامل إلى المساحة مشروعا.
8

خلاصة المساحة: $A = I = 1$ وحدة المساحة
+0,5

💡 يجب إعطاء الجواب بوحدة المساحة (و.م). نسيان الوحدة يكلّف هذه النقطة الأخيرة.

مجموع نقط السؤال 4 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى لو توقفت، يمكنك جمع عدة نقط:

اكتب صيغة المكاملة بالأجزاء $\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v$ حتى دون إتمام الحساب.
حدّد $u = x$ و $v^{'} = e^{x}$ واكتب $u^{'}$ و $v$ : تُنقّط هذه الأسطر بشكل مستقل عن النتيجة.
برّر كون الدالة موجبة: على $[0; 1]$ ، $x \geq 0$ و $e^{x} > 0$ إذن $f (x) \geq 0$ . هذه الجملة تساوي نقطة.
لا تنس أبدا الوحدة «و.م» في الخلاصة.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

متسرعة: حساب دون الإعلان عن $u, v^{'}, u^{'}, v$ ، خطأ في الإشارة عند الحاصرة، مساحة مُعطاة دون تبرير $f \geq 0$ ولا الوحدة.

كاملة: $u = x$ ، $v^{'} = e^{x}$ ، $u^{'} = 1$ ، $v = e^{x}$ ؛ $I = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ ؛ على $[0; 1]$ ، $f \geq 0$ إذن $A = I = 1$ و.م.