🎲 الاحتمالات سؤال على 4 نقطة

الاحتمالات : القانون الثنائي (علوم تجريبية)

التعرف على القانون الثنائي والحساب : أين تذهب النقط (باكالوريا علوم تجريبية).

📋 نص السؤال

يحتوي صندوق على $8$ كرات لا يمكن التمييز بينها باللمس : $3$ كرات حمراء و $5$ كرات خضراء. نسحب $4$ مرات متتالية كرة من الصندوق بإحلال.

نعتبر المتغير العشوائي $X$ الذي يساوي عدد الكرات الحمراء المحصل عليها بعد $4$ عمليات سحب.

بيّن أن $X$ يتبع قانونا ثنائيا وحدد وسيطيه.
احسب الاحتمال $p (X = 2)$ للحصول على كرتين حمراوين بالضبط.
احسب الاحتمال $p (X \geq 1)$ للحصول على كرة حمراء واحدة على الأقل.
حدد الأمل الرياضي $E (X)$ وفسّر النتيجة.

🔍 سلم التنقيط، سطرًا بسطر أين تذهب كل نقطة

1

تحديد تجربة برنولي : « سحب كرة حمراء » (نجاح، $p = \frac{3}{8}$ ) / غير ذلك (فشل)
+0,5

💡 هذه هي نقطة الانطلاق : تسمية النجاح وإعطاء $p = \frac{3}{8}$ .
2

تبرير التكرار : $4$ عمليات سحب متماثلة ومستقلة (سحب بإحلال)
+0,5

💡 كلمة « بإحلال » تضمن الاستقلالية وثبات $p$ : وهذا ما يصحح القانون الثنائي.
3

الاستنتاج : $X$ يتبع القانون الثنائي $B (4; \frac{3}{8})$
+0,5

💡 تحديد $n = 4$ و $p = \frac{3}{8}$ صراحة : هذا هو الجواب المنتظر في السؤال 1.
4

كتابة الصيغة : $p (X = k) = (k 4) (\frac{3}{8})^{k} (\frac{5}{8})^{4 - k}$
+0,5

💡 وضع الصيغة العامة قبل التعويض يمنحك النقطة حتى لو انحرف الحساب النهائي.
5

حساب $p (X = 2) = (2 4) (\frac{3}{8})^{2} (\frac{5}{8})^{2} = \frac{1350}{4096} \approx 0, 330$
+0,5

💡 تطبيق مباشر : $(2 4) = 6$ ، ثم $6 \times 9 \times 25 = 1350$ على $8^{4} = 4096$ .
6

وضع الحدث المضاد : $p (X \geq 1) = 1 - p (X = 0)$
+0,5

💡 رد الفعل « واحدة على الأقل » $\Rightarrow$ المرور عبر الحدث المضاد.
7

حساب $p (X = 0) = (\frac{5}{8})^{4} = \frac{625}{4096}$ ثم $p (X \geq 1) = \frac{3471}{4096} \approx 0, 847$
+0,5

💡 إتمام الحساب حتى الوصول إلى قيمة عددية : $4096 - 625 = 3471$ .
8

حساب الأمل الرياضي $E (X) = n p = 4 \times \frac{3}{8} = \frac{3}{2} = 1, 5$ وتفسيره
+0,5

💡 تطبيق $E (X) = n p$ ، ثم التفسير : في المتوسط $1, 5$ كرة حمراء في $4$ عمليات سحب.

مجموع نقط السؤال 4 نقطة

🪙 عالق؟ إليك كيف تقتنص النقط

حتى لو تعثرت في حساب ما، يمكنك جمع أغلب النقط :

اذكر شروط برنولي الثلاثة (احتمالان، $p$ ثابت، تكرارات مستقلة) : هذه الكلمات المفتاحية تساوي $1$ نقطة.
ضع دائما الصيغة $p (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ قبل الحساب.
« واحدة على الأقل » = الحدث المضاد : $p (X \geq 1) = 1 - p (X = 0)$ ، وليس مجموعا طويلا أبدا.
احفظ $E (X) = n p$ عن ظهر قلب : هذا السطر يُكسب في ثانية واحدة.

✍️ الجواب نفسه: تحرير سيّئ ثم جيّد

ناقصة : « $X$ ثنائي » دون تبرير الشروط، حسابات دون وضع الصيغة، « واحدة على الأقل » محسوبة بمجموع طويل (مصدر للأخطاء).

كاملة : تجربة برنولي ( $p = \frac{3}{8}$ ) مكررة $4$ مرات بإحلال إذن $X \sim B (4; \frac{3}{8})$ ؛ $p (X = 2) = (2 4) (\frac{3}{8})^{2} (\frac{5}{8})^{2} \approx 0, 330$ ؛ $p (X \geq 1) = 1 - (\frac{5}{8})^{4} \approx 0, 847$ ؛ $E (X) = n p = 1, 5$ .