Hypothèse de Riemann : le problème à 1 million de dollars qui résiste depuis 1859

Le problème en une ligne

L'hypothèse de Riemann, posée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, affirme :

Tous les zéros non triviaux de la fonction $\zeta$ de Riemann ont leur partie réelle égale à $\frac{1}{2}$.

En formules. La fonction zêta de Riemann est définie sur les nombres complexes par :

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^s}\text{pour }\mathrm{Re}(s)>1$$

puis prolongée par continuation analytique à tout le plan complexe (sauf $s=1$). Cette fonction possède des zéros triviaux ($s=-2,-4,-6,\dots$) et des zéros non triviaux dans la « bande critique » $0<\mathrm{Re}(s)<1$. L'hypothèse de Riemann s'écrit alors :

$$\forall s\in \mathbb{C},(\zeta (s)=0\text{ et }0<\mathrm{Re}(s)<1)⟹\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}$$

Autrement dit : tous les zéros non triviaux sont alignés sur la droite verticale $\mathrm{Re}(s)=1/2$, appelée droite critique.

Énoncé cryptique pour un élève de terminale, mais sa conséquence est limpide : il donne la distribution exacte des nombres premiers parmi les entiers. Tout, depuis la cryptographie RSA jusqu'aux algorithmes de Google, dépend in fine de cette distribution.

Qui est Bernhard Riemann ?

Mathématicien allemand mort à 39 ans de la tuberculose, Riemann a révolutionné en quelques articles : la géométrie (théorie qui inspirera Einstein pour la relativité générale), l'analyse complexe, et la théorie des nombres. Son article de 1859, Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée, fait 8 pages. Il contient une conjecture qu'il qualifie modestement de « très probable » — et que personne n'a démontrée depuis.

Pourquoi c'est important

Si l'hypothèse est vraie, on peut prédire avec une précision extrême le nombre de nombres premiers $\pi (x)$ inférieurs à un entier $x$ : on a $\pi (x)\approx \frac{x}{\ln x}$ avec une erreur d'ordre $\sqrt{x}\ln x$. C'est le théorème des nombres premiers, démontré en 1896 — mais l'hypothèse de Riemann donnerait une erreur encore meilleure.

Si elle est fausse — si un seul zéro hors de la « droite critique » existe — alors la distribution des premiers est profondément irrégulière, et toute une partie de l'arithmétique moderne s'effondre.

Les vérifications numériques

Depuis 1859, on calcule les zéros. Chronologie :

• 1936 : Titchmarsh & Comrie, 1 041 zéros (calculatrices mécaniques).
• 1956 : Lehmer, 25 000 zéros (premiers ordinateurs électroniques).
• 1986 : Van de Lune, te Riele & Winter, 1,5 milliard de zéros.
• 2004 : projet ZetaGrid (calcul distribué), 100 milliards de zéros.
• 2020 : Platt & Trudgian vérifient l'hypothèse pour tout $|t|\le 3\times 10^{12}$.

Tous les zéros vérifiés sont sur la droite critique $\text{Re}(s)=1/2$. Aucune exception trouvée à ce jour.

Pourquoi ce n'est PAS une preuve

Voici la grande leçon pour un élève BAC SM : vérifier des milliards de cas ne prouve rien en mathématiques.

Exemple historique : on a longtemps cru que la conjecture de Pólya (sur le signe d'une somme liée à la factorisation des entiers) était vraie. Elle a été vérifiée jusqu'à $10^6$. Puis en 1980, Tanaka a exhibé un contre-exemple à $n=906150257$. Un seul. Et la conjecture s'effondre.

Pour Riemann, on a 100 milliards de cas. Mais peut-être un contre-exemple existe-t-il à $10^{30}$, ou $10^{100}$. Personne ne sait. Seule une démonstration formelle peut conclure.

L'Institut Clay et son million

En l'an 2000, l'Institut Clay de Mathématiques a établi la liste des Problèmes du Millénaire : 7 problèmes ouverts, chacun doté de 1 000 000 USD pour quiconque le résoudra. L'hypothèse de Riemann en fait partie.

Sur ces 7 problèmes, un seul a été résolu : la conjecture de Poincaré, par Grigori Perelman en 2003. Il a refusé le million et la médaille Fields qui lui était proposée. Les 6 autres (dont Riemann) attendent.

La leçon pour toi (BAC SM)

L'hypothèse de Riemann n'est pas un problème que tu vas démontrer ce week-end. Mais l'histoire enseigne :

• L'énoncé d'un problème peut être simple, la démonstration peut prendre des siècles.
• La vérification numérique ne remplace pas la démonstration formelle (l'erreur fatale d'un élève au bac : « j'ai vérifié pour n=1, 2, 3, donc c'est vrai »).
• Les mathématiques sont une discipline vivante : il existe des problèmes ouverts à chaque niveau (du collège à la recherche). Tu peux y contribuer.

Voir aussi : méthode de récurrence, arithmétique BAC SM, rédiger une démonstration.