Intérêts composés : tout comprendre pour le bac éco

Les intérêts composés sont l'une des notions les plus rentables à maîtriser pour le Bac Sciences Économiques : ils tombent presque chaque année et reposent sur une seule formule, liée aux suites géométriques. Dans cet article, on explique tout, des bases aux exercices type-examen, avec des montants en dirhams.

Intérêts simples ou composés : quelle différence ?

Imagine que tu places $10000$ DH dans une banque à un taux annuel de $5\%$.

Intérêts simples

Avec des intérêts simples, tu gagnes chaque année $5\%$ du capital initial seulement, soit $500$ DH par an, sans changement. Après 3 ans, tu auras $10000+3\times 500=11500$ DH.

Intérêts composés

Avec des intérêts composés, les intérêts de chaque année s'ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts l'année suivante. On parle d'"intérêts sur les intérêts". C'est l'effet boule de neige.

• Année 1 : $10000+5\%=10500$ DH.
• Année 2 : $10500+5\%=11025$ DH.
• Année 3 : $11025+5\%=11576,25$ DH.

Tu gagnes $76,25$ DH de plus qu'avec les intérêts simples. Sur de longues durées, l'écart devient énorme : c'est tout l'intérêt de comprendre cette notion.

La formule des intérêts composés

Si on place un capital initial $C_0$ à un taux $t$ (en valeur décimale) pendant $n$ périodes, le capital final est :

$$C_n=C_0\times (1+t{)}^n$$

Dans notre exemple, $C_0=10000$, $t=0,05$ et $n=3$ :

$$C_3=10000\times (1,05{)}^3=10000\times 1,157625=11576,25\text{ DH}$$

On retrouve exactement le résultat calculé année par année. La formule fait gagner un temps précieux à l'examen.

Le lien avec les suites géométriques

C'est ici que les maths rejoignent l'économie. La suite des capitaux $(C_n)$ est une suite géométrique de :

• premier terme $C_0$ (le capital placé) ;
• raison $q=1+t$.

En effet, pour passer d'une année à la suivante, on multiplie toujours par le même nombre :

$$C_{n+1}=C_n\times (1+t)$$

Reconnaître une suite géométrique te permet d'utiliser toutes les formules vues en cours, notamment celle du terme général $C_n=C_0\times q^n$, mais aussi la somme des termes si on cumule plusieurs placements.

Exemple complet type-examen

Un épargnant marocain place $25000$ DH sur un compte rémunéré à $4\%$ par an, à intérêts composés.

1. Exprimer le capital après $n$ années

La raison est $q=1+0,04=1,04$, donc :

$$C_n=25000\times (1,04{)}^n$$

2. Calculer le capital après 5 ans

$$C_5=25000\times (1,04{)}^5=25000\times 1,2167\approx 30416,50\text{ DH}$$

L'épargnant a gagné environ $5416,50$ DH d'intérêts en 5 ans.

3. Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 40 000 DH ?

On cherche le plus petit entier $n$ tel que :

$$25000\times (1,04{)}^n\ge 40000$$

Soit $(1,04{)}^n\ge 1,6$. En testant des valeurs (ou avec le logarithme), on trouve $n=12$ ans environ. La patience est récompensée !

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier de convertir le taux : $5\%$ s'écrit $0,05$ dans la formule, pas $5$.
• Confondre la raison et le taux : la raison de la suite est $q=1+t$, pas $t$ seul.
• Mélanger intérêts simples et composés : en composés, on multiplie par $(1+t)$, on n'ajoute pas un montant fixe.
• Mal lire l'énoncé : vérifie si le taux est annuel, trimestriel ou mensuel, et adapte $n$ en conséquence.

Astuce : la règle des 72

Voici une astuce d'économiste pour impressionner ton correcteur. Pour estimer en combien de temps un capital double avec des intérêts composés, divise $72$ par le taux (en pourcentage). À $4\%$, le capital double en environ $72÷4=18$ ans. C'est une approximation rapide, pratique pour vérifier l'ordre de grandeur de tes résultats.

À retenir

• Formule clé : $C_n=C_0\times (1+t{)}^n$.
• La suite des capitaux est géométrique de raison $q=1+t$.
• Les intérêts composés produisent des intérêts sur les intérêts : effet boule de neige.
• Convertis toujours le taux en décimal et adapte $n$ à la période.

Conclusion

Les intérêts composés sont un cadeau pour qui veut gagner des points au Bac éco : une formule unique, un lien direct avec les suites géométriques, et des exercices très répétitifs. Entraîne-toi sur plusieurs énoncés en variant le capital, le taux et la durée, et cette partie de l'examen deviendra ta zone de confiance. À toi de jouer !