Optimiser un profit avec la dérivée : méthode pas à pas

Pourquoi la dérivée sert à optimiser un profit ?

En économie, une entreprise cherche presque toujours à maximiser son profit ou à minimiser ses coûts. En mathématiques, chercher un maximum ou un minimum d'une fonction, c'est exactement ce que permet la dérivée. C'est pourquoi ce chapitre est central pour le Bac Sciences Économiques au Maroc.

Le profit, noté souvent $P(q)$, dépend de la quantité $q$ produite et vendue. Il se calcule par la formule fondamentale :

$$P(q)=R(q)-C(q)$$

où $R(q)$ est la recette totale (chiffre d'affaires) et $C(q)$ le coût total de production. Notre objectif : trouver la quantité $q$ qui rend $P(q)$ maximal.

Le principe : là où la dérivée s'annule

Pour une fonction dérivable, un maximum ou un minimum ne peut se produire qu'en un point où la dérivée s'annule et change de signe. On dit alors que $q$ est un point critique.

• Si $P^{\prime }(q)>0$ : le profit est croissant, on a intérêt à produire plus.
• Si $P^{\prime }(q)<0$ : le profit est décroissant, on produit trop.
• Si $P^{\prime }(q)=0$ : on est à un éventuel sommet (ou creux).

Le maximum de profit est atteint quand $P^{\prime }(q)$ passe de positif à négatif. Économiquement, cela revient à dire que la recette marginale $R^{\prime }(q)$ égale le coût marginal $C^{\prime }(q)$ :

$$P^{\prime }(q)=R^{\prime }(q)-C^{\prime }(q)=0⟺R^{\prime }(q)=C^{\prime }(q)$$

La méthode pas à pas

Étape 1 : écrire la fonction profit

On part des données de l'énoncé pour exprimer $P(q)=R(q)-C(q)$ en fonction de $q$.

Étape 2 : calculer la dérivée $P^{\prime }(q)$

On applique les règles de dérivation usuelles. Rappel utile : la dérivée de $q^n$ est $n{q}^{n-1}$.

Étape 3 : résoudre $P^{\prime }(q)=0$

On trouve les valeurs de $q$ qui annulent la dérivée.

Étape 4 : étudier le signe de $P^{\prime }(q)$

On dresse un tableau de variations pour vérifier qu'il s'agit bien d'un maximum.

Étape 5 : conclure et calculer le profit maximal

On donne la quantité optimale et le profit correspondant en dirhams.

Exemple chiffré : un atelier de babouches à Fès

Un artisan de Fès vend chaque paire de babouches à $120$ DH. Son coût total de production, en dirhams, pour $q$ paires par jour est :

$$C(q)=q^2+20q+300$$

Étape 1 — Recette et profit. Comme le prix unitaire est $120$ DH, la recette est $R(q)=120q$. Donc :

$$P(q)=120q-(q^2+20q+300)=-q^2+100q-300$$

Étape 2 — Dérivée. On dérive :

$$P^{\prime }(q)=-2q+100$$

Étape 3 — Annulation. On résout :

$$P^{\prime }(q)=0⟺-2q+100=0⟺q=50$$

Étape 4 — Signe. Pour $q<50$, on a $P^{\prime }(q)>0$ (profit croissant) ; pour $q>50$, $P^{\prime }(q)<0$ (profit décroissant). Le profit est donc maximal en $q=50$.

Étape 5 — Profit maximal.

$$P(50)=-(50{)}^2+100\times 50-300=-2500+5000-300=2200$$

L'artisan réalise un profit maximal de $2200$ DH par jour en produisant $50$ paires de babouches. C'est la réponse attendue au bac.

Vérifier avec la dérivée seconde

Pour confirmer qu'un point critique est bien un maximum, on peut utiliser la dérivée seconde $P^{\prime \prime }(q)$ :

• Si $P^{\prime \prime }(q)<0$ : la courbe est concave (en forme de cloche), c'est un maximum.
• Si $P^{\prime \prime }(q)>0$ : la courbe est convexe, c'est un minimum.

Dans notre exemple, $P^{\prime \prime }(q)=-2<0$, ce qui confirme bien un maximum. Pratique pour gagner du temps !

Cas fréquent : le coût moyen minimal

Le bac demande aussi de minimiser le coût moyen $C_M(q)=\frac{C(q)}{q}$. La méthode est identique : on dérive $C_M$, on résout $C_M^{\prime }(q)=0$, et on choisit le minimum. Le coût moyen est minimal quand il égale le coût marginal $C^{\prime }(q)$.

Erreurs à éviter

• Oublier de vérifier le signe : un point où $P^{\prime }(q)=0$ n'est pas forcément un maximum.
• Confondre prix et recette : si l'énoncé donne un prix qui dépend de $q$, alors $R(q)=p(q)\times q$ n'est plus linéaire.
• Négliger le domaine : la quantité $q$ doit être positive et parfois entière (on ne vend pas $50,3$ babouches).

Ce qu'il faut retenir

Optimiser un profit avec la dérivée tient en une idée simple : le maximum se trouve là où $P^{\prime }(q)=0$ avec un changement de signe de positif vers négatif, c'est-à-dire quand recette marginale = coût marginal. Maîtrise les cinq étapes, entraîne-toi sur des exemples chiffrés en dirhams, et ce type d'exercice deviendra une source de points faciles au Bac Sciences Économiques.