Probabilités en économie : espérance de gain et décision

Probabilités et prise de décision

En économie, on décide souvent dans l'incertitude : lancer un nouveau produit, investir, choisir une assurance. Les probabilités donnent un outil puissant pour comparer des choix risqués : l'espérance mathématique, aussi appelée gain moyen attendu. C'est un grand classique du Bac Sciences Économiques.

Rappel : variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre (un gain, une perte, un coût) à chaque résultat d'une expérience aléatoire. Par exemple, le gain d'un commerçant selon que la météo est bonne ou mauvaise.

La loi de probabilité de $X$ donne, pour chaque valeur possible $x_{i}$ , sa probabilité $p_{i} = P (X = x_{i})$ . La somme de toutes les probabilités vaut toujours $1$ :

$\sum p_{i} = 1$

L'espérance mathématique

L'espérance de $X$ , notée $E (X)$ , est la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités :

$E (X) = \sum x_{i} \times p_{i} = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}$

Concrètement, $E (X)$ représente le gain (ou la perte) que l'on obtiendrait en moyenne si l'on répétait l'expérience un très grand nombre de fois. C'est le cœur de la décision économique.

Si $E (X) > 0$ : l'opération est en moyenne gagnante.
Si $E (X) < 0$ : elle est en moyenne perdante.
Si $E (X) = 0$ : le jeu est dit équitable.

Exemple 1 : le stand de jus d'orange à Marrakech

Un vendeur de jus à Marrakech gagne $800$ DH par jour s'il fait beau, mais perd $200$ DH (charges non couvertes) s'il pleut. La probabilité de beau temps est $0, 7$ .

La variable $X$ = gain quotidien prend les valeurs $800$ (prob. $0, 7$ ) et $- 200$ (prob. $0, 3$ ). Son espérance :

$E (X) = 800 \times 0, 7 + (- 200) \times 0, 3 = 560 - 60 = 500 DH$

En moyenne, le vendeur gagne $500$ DH par jour. L'activité est rentable : il a intérêt à continuer.

Exemple 2 : faut-il accepter ce pari ?

On te propose un jeu : tu mises $50$ DH. Tu tires une boule dans une urne contenant $2$ boules gagnantes et $8$ boules perdantes. Si tu gagnes, tu reçois $200$ DH (gain net $200 - 50 = 150$ DH) ; sinon tu perds ta mise de $50$ DH.

Les probabilités : gagner $= \frac{2}{10} = 0, 2$ ; perdre $= \frac{8}{10} = 0, 8$ . Le gain net $X$ :

$E (X) = 150 \times 0, 2 + (- 50) \times 0, 8 = 30 - 40 = - 10 DH$

L'espérance est négative : en moyenne tu perds $10$ DH par partie. Décision : ne pas jouer. C'est ainsi que fonctionnent la plupart des jeux de hasard.

Exemple 3 : choisir entre deux projets

Une entreprise hésite entre deux investissements.

Projet A : gain de $100000$ DH avec probabilité $0, 5$ , ou de $20000$ DH avec probabilité $0, 5$ .
Projet B : gain de $200000$ DH avec probabilité $0, 3$ , ou perte de $10000$ DH avec probabilité $0, 7$ .

Calculons l'espérance de chacun :

$E (A) = 100000 \times 0, 5 + 20000 \times 0, 5 = 60000 DH$

$E (B) = 200000 \times 0, 3 + (- 10000) \times 0, 7 = 60000 - 7000 = 53000 DH$

Le projet A a une espérance supérieure ( $60000 > 53000$ ). À gain moyen plus élevé et risque plus faible, c'est le choix le plus raisonnable.

Variance et risque

L'espérance ne dit pas tout : deux projets peuvent avoir le même gain moyen mais des risques différents. La variance $V (X)$ mesure la dispersion des résultats autour de la moyenne :

$V (X) = \sum p_{i} (x_{i} - E (X))^{2} = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$

L'écart-type $σ (X) = V (X)$ exprime le risque dans la même unité (DH). Plus l'écart-type est grand, plus le résultat est incertain. Un investisseur prudent préfère, à espérance égale, le projet de plus faible écart-type.

La règle de décision

Pour comparer des choix risqués au bac :

Identifier la variable aléatoire $X$ (le gain) et sa loi de probabilité.
Calculer l'espérance $E (X)$ de chaque option.
Choisir l'option de plus grande espérance ; en cas d'égalité, regarder l'écart-type pour départager selon le risque.

Erreurs à éviter

Oublier le signe des pertes : une perte se note en négatif dans le calcul de $E (X)$ .
Probabilités dont la somme ne fait pas $1$ : vérifie toujours $\sum p_{i} = 1$ .
Confondre gain brut et gain net : pense à soustraire la mise ou le coût investi.

Ce qu'il faut retenir

L'espérance mathématique $E (X) = \sum x_{i} p_{i}$ transforme l'incertitude en un chiffre comparable : le gain moyen attendu. En économie, on choisit l'option d'espérance maximale, en tenant compte du risque mesuré par l'écart-type. Maîtrise ces calculs sur des exemples concrets en dirhams et tu sécuriseras des points précieux au Bac Sciences Économiques.