Raisonnement par l'absurde et contraposée : méthode

Raisonnement par l'absurde

Principe : pour prouver $P$, on suppose $\neg P$ (la négation de $P$) et on montre que ça mène à une contradiction.

Exemple classique : $\sqrt{2}$ est irrationnel

Hypothèse absurde : supposons que $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$. Alors $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ avec $p,q$ entiers, $q\ne 0$, fraction irréductible (donc $\text{pgcd}(p,q)=1$).

Élevons au carré : $2=\frac{p^2}{q^2}$, soit $p^2=2q^2$. Donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair. Écrivons $p=2k$.

Alors $4k^2=2q^2$, soit $q^2=2k^2$. Donc $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.

Mais alors $p$ et $q$ sont tous deux pairs, donc $\text{pgcd}(p,q)\ge 2$. Contradiction avec « fraction irréductible ».

Conclusion : $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.

Raisonnement par contraposée

Principe : pour prouver « $P\Rightarrow Q$ », on prouve « $\neg Q\Rightarrow \neg P$ ». C'est équivalent (logique du premier ordre).

Exemple : si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair

Démonstration directe : difficile. Par contraposée, on prouve « $n$ impair $\Rightarrow n^2$ impair ».

Si $n$ est impair, $n=2k+1$. Alors $n^2=(2k+1{)}^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ qui est impair.

Par contraposée : si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. $■$

Quand utiliser quoi ?

• Par l'absurde : quand l'énoncé porte sur une impossibilité ou unicité (« il n'existe pas de... », « est unique »).
• Par contraposée : quand l'implication directe est complexe, mais sa contraposée est simple.

Pièges à éviter

• Mal nier la propriété : la négation de « $\forall x,P(x)$ » est « $\exists x,\neg P(x)$ », pas « $\forall x,\neg P(x)$ ».
• Conclure trop vite : tu dois explicitement écrire « Contradiction avec... », sinon le correcteur peut douter.
• Confondre contraposée et réciproque : la réciproque de « $P\Rightarrow Q$ » est « $Q\Rightarrow P$ » (pas équivalente).

Quantificateurs à maîtriser

Négations utiles :

• $\neg (\forall x,P(x))\equiv \exists x,\neg P(x)$
• $\neg (\exists x,P(x))\equiv \forall x,\neg P(x)$
• $\neg (P\Rightarrow Q)\equiv P\wedge \neg Q$

Plus d'exercices : chapitre logique du tronc commun.