∫ Pourquoi les intégrales du bac SM piègent autant

Sur 100 copies de bac, on observe les mêmes erreurs de rédaction sur les intégrales :

  • Bornes oubliées ou mal manipulées dans le changement de variable
  • Justification de continuité absente avant de calculer
  • IPP sans préciser u, u', v, v'
  • Conclusion floue ("on trouve…" au lieu de "donc ∫…dx = …")

Voici les 3 modèles à automatiser.

1️⃣ Calcul d'intégrale par primitivation directe

Structure obligatoire :

  1. Vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle
  2. Trouver une primitive F
  3. Calculer F(b) − F(a)
  4. Conclure avec l'expression numérique finale
Calculer I = ∫₀¹ (3x² + 2x − 1) dx.

f(x) = 3x² + 2x − 1 est un polynôme, donc continue sur [0, 1].

Une primitive : F(x) = x³ + x² − x.

I = F(1) − F(0) = (1 + 1 − 1) − 0 = 1.

Donc I = 1.

2️⃣ Intégration par parties (IPP)

Formule : ∫ₐᵇ u(x)·v'(x) dx = [u(x)·v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u'(x)·v(x) dx

Astuce mnémotechnique : "LIATE" pour choisir u — Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle (priorité décroissante).

Calculer I = ∫₀¹ x·e^x dx.

f(x) = x·e^x est continue sur [0, 1] (produit de fonctions continues).

On pose :
  u(x) = x          ⟹  u'(x) = 1
  v'(x) = e^x       ⟹  v(x) = e^x

u et v sont de classe C¹ sur [0, 1], donc on peut appliquer l'IPP :

I = [x·e^x]₀¹ − ∫₀¹ 1·e^x dx
  = (1·e − 0) − [e^x]₀¹
  = e − (e − 1)
  = 1.

Donc ∫₀¹ x·e^x dx = 1.

3️⃣ Changement de variable

Formule : si φ est de classe C¹ et bijective, alors

∫ₐᵇ f(φ(t))·φ'(t) dt = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(u) du

4 étapes obligatoires :

  1. Poser u = φ(t)
  2. Calculer du = φ'(t) dt
  3. Changer les bornes : si t = a alors u = φ(a), si t = b alors u = φ(b)
  4. Substituer et calculer
Calculer I = ∫₀¹ 2x·e^(x²) dx.

f(x) = 2x·e^(x²) est continue sur [0, 1].

Posons u = x². Alors du = 2x·dx.
Bornes : x = 0 ⟹ u = 0, et x = 1 ⟹ u = 1.

I = ∫₀¹ e^u du = [e^u]₀¹ = e − 1.

Donc ∫₀¹ 2x·e^(x²) dx = e − 1.

⚠️ Les 5 erreurs typiques

  1. Oublier de changer les bornes dans le changement de variable. Erreur catastrophique.
  2. IPP sans préciser u et v : les correcteurs veulent voir explicitement "u(x) = …, v'(x) = …, donc u'(x) = …, v(x) = …".
  3. Confondre primitive et dérivée : F'(x) = f(x), donc F est une primitive de f, pas l'inverse.
  4. Ne pas justifier la continuité de l'intégrande avant le calcul. Le correcteur veut voir "f est continue car…".
  5. Sauter des étapes algébriques : le calcul final doit être détaillé.

🎯 Astuces de présentation qui marchent

  • Encadrer la formule IPP ou la substitution avant de l'appliquer (le correcteur voit que tu sais où tu vas)
  • Une étape par ligne, jamais plusieurs calculs collés
  • Encadrer la réponse finale sous forme "I = …"
  • Si tu as un calcul long, vérifier en dérivant ta primitive : F'(x) doit donner f(x). 30 secondes pour s'assurer.

Articles connexes : guide intégrales et primitives, comment citer un théorème.