Suites et placements financiers : le guide du bac éco

Pourquoi étudier les suites en économie ?

Quand tu places de l'argent à la banque, que tu rembourses un crédit ou que ton salaire augmente chaque année d'un certain pourcentage, tu manipules sans le savoir des suites numériques. Au Bac Sciences Économiques, ce chapitre est un grand pourvoyeur de points car il relie directement les maths à la vie réelle.

Deux types de suites suffisent à comprendre l'essentiel de la finance : les suites arithmétiques (intérêts simples) et les suites géométriques (intérêts composés).

Rappel : suite arithmétique

Une suite $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ :

$u_{n + 1} = u_{n} + r$

Le terme général s'écrit :

$u_{n} = u_{0} + n r$

La somme des premiers termes est :

$S = \frac{( nombre de termes ) \times ( premier + dernier )}{2}$

Rappel : suite géométrique

Une suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $q$ si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ :

$v_{n + 1} = v_{n} \times q$

Le terme général s'écrit :

$v_{n} = v_{0} \times q^{n}$

Et la somme des $n + 1$ premiers termes (pour $q \neq = 1$ ) :

$S = v_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$

Intérêts simples : une suite arithmétique

Avec les intérêts simples, l'intérêt est calculé chaque année uniquement sur le capital de départ. Si tu places un capital $C_{0}$ au taux annuel $t$ , l'intérêt annuel est constant et vaut $C_{0} \times t$ .

Le capital au bout de $n$ années suit donc une suite arithmétique :

$C_{n} = C_{0} + n \times (C_{0} \times t) = C_{0} (1 + n t)$

Exemple chiffré

Tu places $10000$ DH à la banque au taux simple de $4%$ par an, soit $t = 0, 04$ . L'intérêt annuel est :

$10000 \times 0, 04 = 400 DH$

Chaque année, ton capital augmente de $400$ DH. Au bout de $5$ ans :

$C_{5} = 10000 \times (1 + 5 \times 0, 04) = 10000 \times 1, 2 = 12000 DH$

Tu as gagné $2000$ DH d'intérêts.

Intérêts composés : une suite géométrique

Avec les intérêts composés, l'intérêt de chaque année est ajouté au capital, puis produit lui aussi des intérêts l'année suivante : c'est « les intérêts des intérêts ». Le capital est multiplié chaque année par le facteur $(1 + t)$ :

$C_{n + 1} = C_{n} \times (1 + t)$

C'est une suite géométrique de raison $q = 1 + t$ . Le terme général :

$C_{n} = C_{0} \times (1 + t)^{n}$

Le même placement, en intérêts composés

Reprenons $10000$ DH au taux composé de $4%$ . La raison est $q = 1, 04$ . Au bout de $5$ ans :

$C_{5} = 10000 \times (1, 04)^{5} \approx 10000 \times 1, 2167 = 12167 DH$

Tu obtiens environ $12167$ DH, soit $167$ DH de plus qu'avec les intérêts simples. Sur de longues durées, l'écart devient énorme : c'est la puissance des intérêts composés.

Versements réguliers : la somme d'une suite géométrique

Imagine que tu verses $1000$ DH chaque début d'année sur un compte rémunéré à $5%$ composé. Chaque versement fructifie pendant un nombre d'années différent. La valeur totale acquise est une somme de termes géométriques.

Si l'on verse $V$ pendant $n$ années au taux $t$ , la valeur acquise (versements en début d'année) est :

$A = V \times (1 + t) \times \frac{( 1 + t ) ^{n} - 1}{t}$

Application

Avec $V = 1000$ DH, $t = 0, 05$ et $n = 4$ ans :

$A = 1000 \times 1, 05 \times \frac{( 1 , 05 ) ^{4} - 1}{0 , 05}$

Comme $(1, 05)^{4} \approx 1, 2155$ , on a $\frac{0 , 2155}{0 , 05} \approx 4, 31$ , donc :

$A \approx 1000 \times 1, 05 \times 4, 31 \approx 4526 DH$

Tu as versé $4000$ DH au total et récupéré environ $4526$ DH.

Comment reconnaître la bonne suite ?

Si une quantité augmente d'un montant fixe (en DH) à chaque étape → suite arithmétique.
Si une quantité augmente d'un pourcentage fixe à chaque étape → suite géométrique.
Intérêts simples → arithmétique ; intérêts composés → géométrique.

Erreurs fréquentes au bac

Confondre $t$ et $1 + t$ : la raison d'un placement composé est $1 + t$ , pas $t$ .
Mélanger pourcentage et décimal : $4%$ s'écrit $0, 04$ dans les calculs.
Oublier l'année de départ : vérifie si la suite commence à $u_{0}$ ou $u_{1}$ .

Ce qu'il faut retenir

Derrière chaque placement se cache une suite : arithmétique pour les intérêts simples, géométrique pour les intérêts composés. Connais par cœur les formules $C_{n} = C_{0} (1 + n t)$ et $C_{n} = C_{0} (1 + t)^{n}$ , sache calculer une somme de termes, et entraîne-toi avec des montants en dirhams. Tu transformeras alors ce chapitre en valeur sûre pour ton Bac Sciences Économiques.