P(A|B) confondue avec P(B|A) — le sophisme du procureur

L'erreur consiste à confondre $P(A|B)$ avec $P(B|A)$, ou à les considérer comme équivalentes. C'est une inversion de conditionnement. Par exemple, si $P(\text{maladie}|\text{test positif})$ est la probabilité d'avoir une maladie sachant qu'un test est positif, l'erreur est de croire que cette probabilité est la même que $P(\text{test positif}|\text{maladie})$, la probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on a la maladie (la sensibilité du test).

Considérons un test de dépistage d'une maladie rare. La maladie touche 1 personne sur 10 000 ($P(M)=0.0001$). Le test est très fiable : il détecte la maladie dans 99% des cas si la personne est malade ($P(T^{+}|M)=0.99$) et donne un faux positif dans seulement 0.5% des cas si la personne n'est pas malade ($P(T^{+}|M^c)=0.005$). Si une personne est testée positive, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ? L'intuition suggère souvent un chiffre élevé, proche de 99%. Or, le calcul exact via la formule de Bayes donne : $P(M|T^{+})=\frac{P(T^{+}|M)P(M)}{P(T^{+}|M)P(M)+P(T^{+}|M^c)P(M^c)}=\frac{0.99\times 0.0001}{0.99\times 0.0001+0.005\times 0.9999}\approx 0.019$. Soit environ 1.9%. L'écart entre l'intuition (99%) et la réalité (1.9%) est colossal.

La méthode la plus robuste pour éviter cette erreur est l'application systématique de la formule de Bayes. Ne jamais se fier à l'intuition pour les probabilités conditionnelles inversées. Toujours écrire explicitement les probabilités connues et l'inconnue. Une visualisation sous forme d'arbre de probabilités ou de tableau de contingence peut également aider à structurer la pensée et à éviter l'omission des probabilités a priori.

• Écrire la formule : Toujours commencer par $P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$.
• Décomposer $P(B)$ : Utiliser la formule des probabilités totales : $P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)$.
• Vérifier les données : S'assurer que toutes les probabilités nécessaires ($P(A)$, $P(A^c)$, $P(B|A)$, $P(B|A^c)$) sont disponibles ou peuvent être calculées.
• Interpréter le résultat : Une fois le calcul effectué, prendre du recul. Si le résultat est très éloigné de l'intuition, revérifier les calculs, en particulier les probabilités a priori.

Cette erreur est fréquemment testée dans les exercices de probabilités conditionnelles au BAC SM, notamment dans les contextes de dépistage, de contrôle qualité ou de fiabilité de systèmes. Les énoncés sont souvent formulés de manière à inciter à la confusion entre $P(A|B)$ et $P(B|A)$. Par exemple, on donne la probabilité qu'un élève réussisse un examen sachant qu'il a bien préparé, et on demande la probabilité qu'il ait bien préparé sachant qu'il a réussi. La confusion est d'autant plus facile que les valeurs numériques sont proches.

Les questions types incluent le calcul de $P(A|B)$ après avoir fourni $P(B|A)$, $P(A)$ et $P(B|A^c)$. L'erreur la plus courante est de substituer directement $P(B|A)$ à $P(A|B)$ ou d'ignorer la probabilité a priori $P(A)$. Les barèmes du BAC SM pénalisent lourdement cette erreur conceptuelle. Une maîtrise parfaite de la formule de Bayes et de la formule des probabilités totales est indispensable pour éviter cette erreur et garantir les points sur ces questions qui sont souvent des exercices complets.