🎛️ Résous une équation cubique en temps réel
Bouge p et q pour voir comment Cardan calcule la racine réelle. Selon le signe du discriminant Δ = −4p³ − 27q², la formule donne 1 ou 3 racines réelles.
Équation
x³ − 3x + 1 = 0
Discriminant Δ
81
Racines réelles
3 racines
x³ − 3x + 1 = 0 : Δ = 81 > 0, donc 3 racines réelles. La formule de Cardan nécessite paradoxalement les nombres complexes pour les calculer !
⚔️ 1535 — Italie : la rivalité des « calculateurs publics »
Au XVIᵉ siècle, l'Italie de la Renaissance bouillonne de mathématiques. Les universités y emploient des « calculateurs publics » qui se défient régulièrement en duels mathématiques. Le perdant d'un duel pouvait perdre son poste.
L'équation cubique ax³ + bx² + cx + d = 0 résiste depuis l'Antiquité. Les Grecs avaient résolu le degré 2 (formule du discriminant), mais le degré 3 reste un mystère. Celui qui trouvera la formule deviendra le plus grand mathématicien d'Italie.
🎭 Acte I — Scipione del Ferro (1465-1526)
Vers 1500, Scipione del Ferro, professeur à Bologne, découvre une méthode pour résoudre x³ + px = q. Mais il refuse de la publier — c'est son arme secrète. Sur son lit de mort en 1526, il transmet la méthode à son élève Antonio Maria Fior.
🎭 Acte II — Tartaglia (1499-1557) : le bègue génie
En 1535, Fior défie publiquement Niccolò Tartaglia (« le bègue », surnommé ainsi après avoir été blessé enfant pendant le sac de Brescia par les Français). Chacun pose 30 problèmes à l'autre, à résoudre en 30 jours.
Tartaglia, par lui-même, redécouvre la méthode pour x³ + px = q quelques jours avant la fin du duel. Il résout les 30 problèmes en 2 heures. Fior ne résout aucun. Tartaglia triomphe.
🎭 Acte III — Cardano (1501-1576) : le piège
Gerolamo Cardano, médecin, philosophe et mathématicien à Milan, entend parler de la victoire de Tartaglia. Il veut connaître la formule. Tartaglia refuse.
En 1539, Cardano invite Tartaglia chez lui. Il insiste, supplie, jure sur la Bible que la formule restera secrète. Tartaglia, en confiance, lui transmet la formule en vers (méthode mnémonique cryptée).
🎭 Acte IV — La trahison (1545)
En 1545, Cardano publie Ars Magna (« Le Grand Art »), le traité d'algèbre le plus important de l'époque. Il y publie la formule de Tartaglia. Il mentionne Tartaglia comme source, mais le crédit est compromis — la formule est désormais connue de tous comme la « formule de Cardan ».
Tartaglia est furieux. Il dénonce publiquement Cardano. Cardano envoie son disciple Ludovico Ferrari (qui a résolu le degré 4) défier Tartaglia. Tartaglia perd, perd son poste, et meurt dans la pauvreté en 1557.
📐 La formule (en notation moderne)
Toute équation cubique ax³ + bx² + cx + d = 0 peut être ramenée (par le changement x = y − b/3a) à la forme déprimée :
y³ + py + q = 0
La formule de Cardan donne alors une racine réelle :
y = ∛(−q/2 + √(q²/4 + p³/27)) + ∛(−q/2 − √(q²/4 + p³/27))
Le discriminant de l'équation cubique est Δ = −4p³ − 27q². Trois cas :
- Δ < 0 : une seule racine réelle (et deux complexes conjuguées). La formule donne directement la racine réelle. OK.
- Δ = 0 : racine double, racine simple. Cas particulier.
- Δ > 0 : trois racines réelles. Mais paradoxalement, la formule fait apparaître des racines de nombres négatifs ! C'est le casus irreducibilis.
💎 Le « casus irreducibilis » : la naissance des complexes
Voici l'épisode le plus mystérieux. Quand Δ > 0, la formule de Cardan donne des choses comme :
x = ∛(7 + √(−15)) + ∛(7 − √(−15))
Or √(−15) est impossible au XVIᵉ siècle. Les mathématiciens manipulent ces « impossibles » avec dégoût... mais ça marche ! Le résultat final est bien un nombre réel.
Rafael Bombelli (1572) prend les choses au sérieux : il pose ∛(7 + √(−15)) = a + b·√(−1), où √(−1) est « quelque chose ». Il manipule formellement et obtient les bonnes réponses.
🏛️ L'héritage de Cardan
Ars Magna (1545) est l'un des ouvrages mathématiques les plus influents de l'histoire. Il contient :
- La formule de Cardan pour le degré 3 (avec attribution à del Ferro et Tartaglia).
- La méthode de Ludovico Ferrari pour le degré 4.
- La manipulation des nombres négatifs (encore controversée à l'époque).
- Des éléments de combinatoire et de probabilités (Cardano est aussi le père des proba via son Liber de Ludo Aleae).
📐 Le lien avec ton programme
L'équation cubique est partiellement au programme du BAC SM :
- Polynômes (1BAC SM) : étude des polynômes de degré 3, racines évidentes, factorisation par (x − α).
- Nombres complexes (2BAC SM) : le « casus irreducibilis » est l'illustration historique parfaite de leur utilité.
- Tableau de variations d'un polynôme : grâce à la dérivée, on peut prédire le nombre de racines réelles d'une cubique (1 ou 3) selon les extrema.
- Discriminant : généralisation directe du Δ = b² − 4ac du degré 2.
🎯 La méthode de Tschirnhaus (1683)
Une méthode plus moderne et systématique pour résoudre l'équation cubique : le changement de variable de Tschirnhaus. Le principe : poser y = ax + b · x² + ... pour éliminer les termes de degré intermédiaire et tomber sur une équation simple.
Pour la cubique x³ + px + q = 0, on pose y = x + p/(3x). Après calcul, on obtient une équation en y² du type Y² + qY − p³/27 = 0, qu'on résout avec la formule du degré 2.
🌍 Pourquoi Cardan reste dans l'histoire
Cardano est un personnage fascinant : médecin renommé, astrologue (il a prédit le jour de sa propre mort... et s'est laissé mourir le jour prédit pour ne pas se tromper), philosophe, mathématicien, et inventeur du cardan (le mécanisme universel encore utilisé dans les voitures).
Sa formule a tenu pendant 290 ans comme la « solution » de la cubique. Il a fallu attendre Évariste Galois (1832) pour comprendre pourquoi cette formule existe pour les degrés 2, 3, 4 mais pas pour le degré 5 ou plus.