🔷 Recouvrir le plan sans trou ni chevauchement
Un pavage du plan, c'est un recouvrement par des polygones (les « tuiles ») sans trou ni chevauchement. Question fondamentale : avec quelles formes peut-on paver ?
Avec un seul type de polygone régulier, il n'y a que 3 possibilités : le triangle équilatéral, le carré, ou l'hexagone régulier. Pour les autres polygones réguliers (pentagone, heptagone, …), c'est impossible.
🎛️ Explore les 3 pavages réguliers
🎛️ Pavages du plan
Compare les 3 réguliers + un pavage semi-régulier + un Penrose simplifié.
📐 Pourquoi seulement 3 réguliers ?
Pour qu'un polygone régulier à n côtés pave, il faut que l'angle au sommet divise 360° (puisque les sommets se rejoignent sans laisser de trou). L'angle au sommet d'un n-gone régulier est :
α(n) = °
- n = 3 : α = 60°, 360/60 = 6 triangles par sommet ✓
- n = 4 : α = 90°, 360/90 = 4 carrés ✓
- n = 5 : α = 108°, 360/108 = 3,33 → impossible
- n = 6 : α = 120°, 360/120 = 3 hexagones ✓
- n ≥ 7 : α > 120°, donc 360/α < 3 → impossible
🏰 L'Alhambra de Grenade (XIVᵉ siècle)
Au XIVᵉ siècle, les artisans musulmans qui décorent les murs de l'Alhambra (palais royal de Grenade) inventent — sans le savoir — les 17 groupes de pavages possibles du plan. Les mathématiciens les redécouvriront seulement au XXᵉ siècle.
✨ Les pavages de Penrose (1974)
En 1974, le mathématicien anglais Roger Penrose (futur prix Nobel de physique 2020) invente des pavages apériodiques : avec 2 tuiles seulement (« cerf-volant » et « fléchette »), on peut paver le plan, mais aucune translation ne le laisse invariant.
Les pavages de Penrose contiennent le nombre d'or φ (concept Atlas « Nombre d'or ») partout : rapports d'aire, fréquences relatives des tuiles, distances. C'est de la symétrie 5 cachée dans un pavage non périodique.
💎 Quasi-cristaux : la nature copie Penrose
En 1982, le chimiste Dan Shechtman observe au microscope électronique un alliage qui présente une symétrie 5 — théoriquement impossible dans un cristal classique (qui ne peut avoir que symétries 2, 3, 4, ou 6).
La communauté refuse d'abord d'y croire. Linus Pauling déclare : « Il n'existe pas de quasi-cristaux, seulement des quasi-scientifiques ». Mais Shechtman tient bon, multiplie les preuves. Il reçoit le prix Nobel de chimie en 2011.
Les quasi-cristaux sont la contrepartie physique 3D des pavages de Penrose. Aujourd'hui, on en trouve des applications en cuisson (poêles antiadhésives), revêtements thermiques, isolation phonique.
🌍 Pavages partout
- Architecture : dallages, mosaïques, vitraux (cathédrales, mosquées, temples)
- Art islamique : zelliges marocains, mosaïques d'Iran et d'Andalousie
- M.C. Escher : artiste néerlandais qui dessine des pavages avec des animaux (oiseaux, poissons) qui se transforment
- Quasi-cristaux : matériaux avancés
- Théorie des codes : empilements compacts dans ℝⁿ (sphère packing) — lié aux pavages
- Cristallographie : les 230 groupes d'espace en 3D, classification de tous les cristaux
🎓 Lien avec le programme BAC SM
- Angles intérieurs des polygones (1BAC)
- Isométries du plan : translations, rotations, symétries — ingrédients des pavages
- Groupes (concept Atlas) : les 17 groupes de pavages sont des groupes mathématiques
- Nombre d'or (concept Atlas) : omniprésent dans les pavages de Penrose
🧠 Réflexion finale
Les pavages illustrent magnifiquement que l'art et la science partagent souvent les mêmes structures. Les artisans de l'Alhambra ont découvert empiriquement, par leur sens esthétique, des objets que les mathématiciens classifieront 500 ans plus tard. Penrose a trouvé une beauté nouvelle. La nature l'a copiée dans les quasi-cristaux.
C'est l'une des grandes leçons des maths : il existe des structures objectives que différentes cultures, à différentes époques, finissent par découvrir. Pas d'auteur unique. Une vérité mathématique commune à tous les humains.