💎 6 et 28 : les premiers de la famille
Calcule la somme des diviseurs propres (sans lui-même) de 6 : 1 + 2 + 3 = 6. Magique.
Idem pour 28 : 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. C'est ce qu'on appelle un nombre parfait : un entier égal à la somme de ses diviseurs propres.
Les Pythagoriciens voyaient dans 6 et 28 des nombres sacrés. Saint Augustin déclarera au IVᵉ siècle que « Dieu a créé le monde en 6 jours parce que 6 est parfait ». Et que la Lune fait un tour de la Terre en 28 jours pour la même raison.
🎛️ Trouve les nombres parfaits
🎛️ Détecteur de nombres parfaits
Choisis un nombre, vois ses diviseurs et leur somme. Si elle vaut n, c'est parfait.
Diviseurs propres de n
1, 2, 3
Somme = 6
✓ 6 est PARFAIT
📜 Le théorème d'Euclide-Euler
Euclide donne en 300 av. J.-C. une formule pour générer des nombres parfaits pairs :
Si − 1 est premier (premier de Mersenne), alors 2p−1( − 1) est parfait.
Vérifions :
- p = 2 : − 1 = 3 premier → × 3 = 6 ✓
- p = 3 : − 1 = 7 premier → × 7 = 28 ✓
- p = 5 : − 1 = 31 premier → × 31 = 496 ✓
- p = 7 : − 1 = 127 premier → × 127 = 8 128 ✓
Euler démontrera 2000 ans plus tard (XVIIIᵉ siècle) la réciproque : tout nombre parfait pair est de cette forme. C'est le théorème d'Euclide-Euler.
🔍 Les nombres de Mersenne
Les premiers p tels que − 1 est premier s'appellent les nombres premiers de Mersenne. Trouver un nouveau Mersenne, c'est automatiquement trouver un nouveau nombre parfait.
En 2026, on connaît 51 nombres parfaits. Le plus grand est associé au 51ᵉ Mersenne : − 1, soit un nombre à 49 millions de chiffres. Le nombre parfait associé a donc environ 49 millions de chiffres aussi.
❓ 4 mystères toujours ouverts
👥 Les cousins : nombres amicaux
Deux nombres sont amicaux si la somme des diviseurs propres de l'un égale l'autre, et réciproquement. Première paire :
- 220 : diviseurs propres 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 → somme = 284
- 284 : diviseurs propres 1, 2, 4, 71, 142 → somme = 220
Cette paire (220, 284) était connue des Pythagoriciens. Au Moyen Âge, les nombres amicaux étaient utilisés en talismanique islamique pour symboliser l'amitié.
🎓 Lien avec le programme BAC SM
- Décomposition en facteurs premiers : nécessaire pour trouver tous les diviseurs
- Somme des diviseurs σ(n) : si n = · · …, alors σ(n) = ∏ (αi+1−1)/(−1)
- Théorème de Fermat : les premiers de Mersenne en sont un cas particulier
- Arithmétique en général : les nombres parfaits illustrent la richesse des questions ouvertes en théorie des nombres
🧠 Réflexion finale
Les nombres parfaits sont l'archétype des problèmes mathématiques élémentaires mais incroyablement profonds. Tu peux expliquer la question à un enfant de 10 ans. Pourtant, après 2 300 ans, on ne sait toujours pas s'il en existe une infinité, ni s'il y en a d'impairs.
C'est ce qui rend les maths si addictives : la question idiote du débutant devient la question difficile de l'expert. Bonne nouvelle : tu peux contribuer. Le projet GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) recrute des amateurs depuis 1996 pour chercher de nouveaux premiers de Mersenne avec un logiciel libre. Et donc de nouveaux nombres parfaits.
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