🎛️ Règle les rayons et regarde la rosace se dessiner
Un petit cercle roule à l'intérieur d'un grand cercle. Un stylo, fixé dans le petit cercle, laisse une trace : c'est une hypotrochoïde. Bouge les curseurs, puis clique « Redessiner ».
Le petit cercle roule sans glisser dans le grand. Le point coloré, c'est la pointe du stylo qui dessine la courbe.
🧸 1965 : un jouet qui rend les enfants matheux sans le savoir
En 1965, l'ingénieur britannique Denys Fisher présente au Salon du jouet de Nuremberg une boîte remplie de roues dentées en plastique et de couronnes percées de trous. Le Spirograph est né. La règle du jeu est enfantine : tu cales une petite roue dans une grande couronne, tu glisses la pointe d'un stylo dans l'un des petits trous de la roue, et tu la fais tourner. La roue roule à l'intérieur de la couronne, le stylo suit… et au bout d'un tour ou deux apparaît une rosace hypnotique, parfaitement symétrique.
Le jouet est un triomphe planétaire — élu jouet de l'année au Royaume-Uni en 1967. Mais ce que des millions d'enfants ne savaient pas, c'est qu'ils traçaient, à la main, des courbes que les mathématiciens étudiaient depuis le 18e siècle : les hypotrochoïdes.
L'idée géniale
Tu ne dessines pas la courbe « point par point ». Tu dessines un mouvement :
un cercle qui roule dans un cercle. La beauté de la rosace n'est qu'une conséquence
de cette mécanique. Change la taille des roues, et tu changes toute la figure.
⚙️ La mécanique : un cercle qui roule dans un cercle
Imagine un grand cercle fixe de rayon R. À l'intérieur, un petit cercle de rayon r roule sans glisser le long du bord, comme une pièce qui roulerait à l'intérieur d'un anneau. Sur ce petit cercle, on plante un stylo à une distance d de son centre (d, c'est la position du trou dans la roue du jouet).
Deux rotations se combinent : le centre du petit cercle tourne autour du grand, et en même temps le petit cercle tourne sur lui-même parce qu'il roule. C'est cette double rotation qui crée les pétales. Le stylo, lui, est emporté par les deux à la fois — d'où la trajectoire compliquée et magnifique.
🧮 Les équations paramétriques de l'hypotrochoïde
Pour décrire la position du stylo, on utilise un paramètre t (le temps, ou l'angle de rotation). À chaque valeur de t correspond un point (x(t), y(t)) de la courbe. La mécanique du roulement donne, à un instant t :
x(t) = (R − r) · cos t + d · cos(R − rr · t)
y(t) = (R − r) · sin t − d · sin(R − rr · t)
Lis-les comme une addition de deux mouvements circulaires. Le premier terme, (R − r)·cos t et (R − r)·sin t, c'est le centre du petit cercle qui décrit un cercle de rayon R − r. Le second terme, en d, c'est le stylo qui tourne autour de ce centre, mais beaucoup plus vite — exactement R − rr fois plus vite, parce que la roue roule. Le signe « − » devant le sinus traduit le fait que la roue tourne en sens inverse de son déplacement (elle roule à l'intérieur).
🔢 Le secret du rapport R/r : pourquoi la courbe se referme
Tout le caractère de la figure tient dans un seul nombre : le rapport Rr.
- Si R/r est un nombre rationnel p/q (une fraction d'entiers, réduite au maximum), la courbe se referme sur elle-même. Plus précisément, le stylo revient à son point de départ après exactement q tours du petit cercle autour du grand, et la rosace possède alors p pétales. Exemple : R = 200 et r = 75 donnent R/r = 8/3 (après réduction), donc 8 pétales en 3 tours.
- Si R/r est irrationnel (par exemple R/r = π), la courbe ne se referme jamais. Le stylo passe toujours à côté de son point de départ et finit, à l'infini, par remplir tout un anneau entre deux cercles. C'est une rosace qui ne s'achève jamais.
Voilà pourquoi, dans la vraie boîte de Spirograph, le nombre de trous et le nombre de dents étaient choisis avec soin : les fabricants jouaient avec le plus grand commun diviseur de R et r. Pour fermer la courbe le plus vite possible, on calcule t allant de 0 à 2π · rpgcd(R, r) : c'est le nombre de tours qu'il faut au petit cercle pour boucler.
Le rôle du paramètre d
Le rayon R et le petit rayon r décident de la forme de la rosace (combien de pétales).
La distance d du stylo, elle, ne change pas le nombre de pétales mais leur profondeur :
stylo près du centre (d petit) → pétales doux et arrondis ; stylo près du bord (d ≈ r) → pétales
pointus qui frôlent le centre. Si d = r exactement, on obtient une hypocycloïde,
avec des pointes anguleuses (cas particulier célèbre : l'astroïde à 4 branches quand R = 4r).
🪐 Hypotrochoïde ou épitrochoïde : dedans ou dehors
Tout dépend d'où roule le petit cercle :
- Hypotrochoïde (du grec hypo, « sous, à l'intérieur ») : le petit cercle roule à l'intérieur du grand. C'est le cas du Spirograph classique, celui de l'animation ci-dessus.
- Épitrochoïde (du grec epi, « sur, au-dessus ») : le petit cercle roule à l'extérieur du grand, autour de lui. Les équations se ressemblent, mais avec R + r au lieu de R − r : x(t) = (R + r)·cos t − d·cos(R + rr·t). On obtient des rosaces qui bombent vers l'extérieur.
Quand le stylo est sur le bord du cercle roulant (d = r), ces familles deviennent les hypocycloïdes et épicycloïdes — les courbes que Ptolémée imaginait déjà, il y a deux mille ans, pour décrire le mouvement « en boucle » des planètes dans le ciel.
🔗 Le pont avec ton programme de maths
Le spirographe n'est pas qu'un jouet : il rassemble plusieurs notions du lycée et du supérieur.
- Courbes paramétrées : un point M(t) = (x(t), y(t)) qui se déplace quand t varie, au lieu d'une équation y = f(x). C'est le cœur du sujet.
- Trigonométrie : cos et sin, leurs périodes, et les formules d'addition cachées derrière la superposition des deux rotations.
- Arithmétique : le pgcd de R et r, les fractions rationnelles versus irrationnelles — exactement ce qui décide si la courbe se ferme.
- Vecteurs : la position du stylo est une somme de deux vecteurs tournants, un long et lent, un court et rapide.
- Dérivée et vitesse : en dérivant x(t) et y(t), on trouve le vecteur vitesse, qui s'annule justement aux pointes des pétales (les points de rebroussement).
🌍 Le même principe partout autour de toi
Les cercles qui roulent dans des cercles ne sont pas réservés aux jouets :
- Les engrenages : la forme des dents qui s'engrènent sans à-coups suit un profil dit « en développante de cercle », cousin direct de ces courbes roulantes.
- Le moteur rotatif Wankel : son rotor triangulaire tourne dans une chambre en forme d'épitrochoïde. Le moteur de certaines Mazda est une de ces courbes.
- L'astronomie : les « épicycles » de Ptolémée, ces petits cercles qui roulaient sur de grands cercles pour expliquer la marche des planètes, sont exactement des épicycloïdes.
- L'art et le design : motifs de billets de banque anti-contrefaçon (guillochage), logos, ornements — beaucoup sont des spirographes mathématiques.