🌸 La table de k qui dessine une fleur
N points sont posés régulièrement sur un cercle. Pour chaque point i, on trace une corde vers le point k·i (modulo N). Change le multiplicateur k et regarde naître cardioïdes, néphroïdes et fleurs lumineuses.
Avec k = 2, l'enveloppe des cordes dessine un cardioïde : un cœur parfait.
🎯 Une idée d'une simplicité désarmante
Prends un cercle. Pose dessus N points régulièrement espacés, numérotés de 0 à N−1 : le point numéro i est placé à l'angle 2π·i ⁄ N. Tu obtiens une sorte de cadran d'horloge à N graduations.
Choisis maintenant un nombre k, ton multiplicateur. La règle tient en une ligne : pour chaque point i, on trace une corde qui le relie au point numéro k·i. Comme il n'y a que N points, on prend ce numéro modulo N, c'est-à-dire le reste de la division de k·i par N. C'est tout. Aucune autre instruction.
Pour chaque i de 0 à N−1, trace la corde reliant le point i au point (k·i) mod N.
On ne dessine rien d'autre que des segments tout droits. Et pourtant, en regroupant des centaines de ces cordes, une courbe lisse et incurvée apparaît, comme dessinée par une main invisible. Cette courbe est l'enveloppe des cordes : la frontière que toutes les droites viennent caresser sans jamais la franchir.
💗 k = 2 : le cardioïde, un cœur sorti du néant
Le cas le plus célèbre est k = 2 : la bonne vieille table de 2. Le point i est relié au point 2i. Le point 1 va vers 2, le point 2 vers 4, le point 10 vers 20… Rien de plus banal qu'une table de multiplication.
Le résultat, lui, est tout sauf banal : l'enveloppe de ces cordes est un cardioïde, cette courbe en forme de cœur (du grec kardia, le cœur). Ce n'est pas une coïncidence pittoresque, mais un théorème de géométrie : le cardioïde est exactement la courbe enveloppe des cordes joignant i à 2i sur un cercle.
Il y a même une seconde façon de faire surgir ce cœur : éclaire l'intérieur d'une tasse de café avec un rayon de lumière. Les reflets sur la paroi se concentrent le long d'une courbe brillante, la caustique. Pour une source lumineuse posée sur le bord, cette caustique est… un cardioïde. Même courbe, deux mondes : la table de 2 sur un cercle, et la lumière piégée dans une tasse.
🍀 k = 3, 4, 5… des pétales qui se multiplient
Augmente le multiplicateur d'une unité et l'enveloppe gagne une boucle. La règle est d'une régularité parfaite :
- k = 2 → 1 boucle : le cardioïde (le cœur).
- k = 3 → 2 boucles : la néphroïde (deux lobes, comme un rein ou un trèfle).
- k = 4 → 3 boucles.
- k = 5 → 4 boucles, et ainsi de suite.
La loi générale est limpide : un multiplicateur entier k produit une courbe à (k − 1) boucles. Ces courbes ne sont pas inconnues des mathématiciens : ce sont des épicycloïdes, les trajectoires d'un point d'un petit cercle qui roule sans glisser autour d'un grand cercle. Le cardioïde et la néphroïde en sont les deux premiers représentants. Plus k grandit, plus la fleur compte de pétales.
🌺 Les multiplicateurs décimaux : un jardin infini
La vraie magie commence quand k n'est pas un entier. Avec k = 2,5 ou k = 33,3, la corde ne tombe plus pile sur un point : elle vise une position intermédiaire, et l'enveloppe se met à tourner sur elle-même en se repliant. Apparaissent alors des motifs fleuris, étoilés, tourbillonnants, d'une richesse inépuisable. C'est exactement ce que fait le bouton Animer : il fait croître k tout doucement, et tu traverses une infinité de fleurs, chacune née de la même règle minuscule.
Plus k est proche d'un diviseur ou d'un multiple de N, plus les cordes se regroupent en symétries franches ; entre ces valeurs, les motifs deviennent foisonnants et asymétriques.
🔢 Le rôle de N : du polygone à la dentelle
Le nombre de points N ne change pas la forme de la courbe : il change sa finesse. Avec un petit N, l'enveloppe est anguleuse, on devine encore les segments individuels — c'est presque un polygone. Avec un grand N (200, 300, 360 cordes), les segments se serrent jusqu'à se fondre en une courbe parfaitement lisse, une dentelle.
Mathématiquement, c'est un passage à la limite : la suite des cordes discrètes converge vers la courbe continue (cardioïde, néphroïde…) quand N tend vers l'infini. Le dessin n'est jamais la courbe exacte ; il en est une approximation d'autant meilleure qu'on multiplie les points. C'est exactement l'esprit du calcul intégral : approcher le continu par du discret de plus en plus fin.
➗ Pourquoi de l'arithmétique fait de la géométrie
D'où vient cette beauté ? De l'arithmétique modulaire, le calcul « sur l'horloge ». Quand on écrit (k·i) mod N, on travaille avec les congruences : deux nombres sont considérés comme identiques s'ils ont le même reste dans la division par N. La table de multiplication par k, vue modulo N, devient une application qui envoie chaque point i sur un autre point du cercle.
Cette application a une structure cachée. Si k et N n'ont aucun diviseur commun (on dit qu'ils sont premiers entre eux), la multiplication par k est une permutation : elle mélange les N points sans en oublier aucun, et le motif est dense et symétrique. Quand k et N partagent des facteurs, certains points se retrouvent reliés plusieurs fois, d'autres jamais : la symétrie se brise et de nouveaux dessins surgissent. La théorie des nombres sculpte directement ce que l'œil perçoit.
Le point fixe i = 0 reste toujours collé à lui-même (k·0 = 0), et le point opposé éventuel dépend de la parité de N. Chaque détail visuel correspond à un fait arithmétique précis : c'est une traduction exacte entre le monde des nombres et celui des formes.
🎓 Le lien avec ton programme
Ce petit jeu de cordes mobilise, sans en avoir l'air, des notions très scolaires :
- Tables de multiplication et congruences : tout part de (k·i) mod N.
- Trigonométrie : placer le point i à l'angle 2π·i ⁄ N, avec cos et sin.
- PGCD et nombres premiers entre eux : ils décident de la symétrie du motif.
- Suites et limites : la convergence des cordes vers la courbe quand N grandit.
- Courbes paramétrées : cardioïde et épicycloïdes, au programme de fin de lycée et début de supérieur.
- Algorithmique : une dizaine de lignes en Python ou JavaScript suffisent à tout dessiner — un superbe mini-projet.