🎛️ Choisis un polygone et compte les points
Aire = I + B/2 − 1, où I = points intérieurs, B = points sur la frontière. Vérifie sur 5 polygones différents.
I (intérieur)
6
B (frontière)
4
Pick : I + B/2 − 1
7.0
Aire réelle
7.0
Triangle : 6 points à l'intérieur, 4 sur la frontière. Pick = 6 + 4/2 − 1 = 7. Aire réelle = 7. ✓
📏 1899 : Georg Pick et son théorème oublié
Georg Alexander Pick (1859-1942) est un mathématicien autrichien, professeur à l'Université allemande de Prague. En 1899, il publie un petit article où il démontre un résultat d'une beauté stupéfiante :
Théorème de Pick (1899)
Soit P un polygone simple dont les sommets sont des points entiers du plan ℤ². Notons :
- I = nombre de points entiers strictement à l'intérieur de P
- B = nombre de points entiers sur la frontière (sommets + côtés)
Aire(P) = I + B2 − 1
Lis-le encore. Tu peux calculer l'aire d'un polygone aussi compliqué soit-il, sans aucune mesure de longueurs ni d'angles. Juste en comptant des points. C'est l'un des résultats les plus surprenants de la géométrie élémentaire.
✨ Vérifions sur un cas simple
Prends le carré de sommets (0,0), (3,0), (3,2), (0,2). Aire évidente : 3 × 2 = 6.
- Points intérieurs : I = 2 × 1 = 2. (Les points (1,1) et (2,1).)
- Points sur la frontière : B = 2(3) + 2(2) = 10. (Compte les bornes : 4 sommets + 2+2+1+1 = 10.)
- Pick : 2 + 10/2 − 1 = 2 + 5 − 1 = 6. ✓
Pour un triangle : sommets (0,0), (4,0), (0,3). Aire évidente : (4 × 3) / 2 = 6.
- I = 3 (les points (1,1), (2,1), (1,2)).
- B = 1 + 4 + 3 = 8 (sommet (0,0) + 4 sur l'horizontal + 3 sur l'oblique + ajustement).
- Pick : 3 + 8/2 − 1 = 3 + 4 − 1 = 6. ✓
🎯 Pourquoi ça marche ? L'idée géniale en 2 étapes
Étape 1 — Pick pour les triangles fondamentaux
Un triangle fondamental est un triangle sur ℤ² avec aucun point entier dans son intérieur ni sur ses côtés (sauf les 3 sommets). Pour un tel triangle :
- I = 0, B = 3.
- Pick prédit : 0 + 3/2 − 1 = 1/2.
Et c'est vrai ! Un triangle fondamental a toujours une aire de 1/2 (théorème classique de la géométrie discrète).
Étape 2 — Triangulation et additivité
Tout polygone P peut être découpé en triangles fondamentaux. Si tu en obtiens T, l'aire est T × 1/2.
Il suffit ensuite de relier T à I et B. Par un argument combinatoire (formule d'Euler appliquée à la triangulation), on montre que :
T = 2I + B − 2
Donc aire = T/2 = (2I + B − 2)/2 = I + B/2 − 1. QED. Une formule magique née d'une triangulation et de la formule d'Euler.
📐 Pourquoi seulement sur ℤ² ?
Le théorème exige que tous les sommets soient à coordonnées entières. Sinon, ça ne marche pas. Exemple : un triangle de sommets (0, 0), (1, 0), (0, π) a une aire de π/2 ≈ 1.5708, et aucun point entier sur ses côtés (sauf les sommets) ni à l'intérieur. Pick prédirait 0 + 3/2 − 1 = 0.5, donc faux.
Cette restriction à ℤ² est essentielle et révèle quelque chose de profond : la structure discrète du plan entier impose des contraintes invisibles aux longueurs continues.
🌍 Applications surprenantes
- Géométrie discrète et imagerie : Pick est utilisé dans le traitement d'images pour calculer rapidement l'aire d'une région de pixels.
- Cristallographie : les réseaux cristallins sont des polygones (et polytopes en 3D) à sommets entiers, et le calcul de leur volume utilise des généralisations de Pick.
- Cartographie historique : Pick était utilisé par les arpenteurs au début du XXᵉ siècle pour mesurer des terrains agricoles sur grille de planches.
- Programmation et géo-informatique : algorithmes de calcul d'aires en cartographie numérique sur grilles régulières.
🎓 Le lien avec ton programme
Pick n'est pas explicitement au BAC SM, mais c'est un terrain de jeu idéal pour pratiquer :
- Géométrie analytique du plan (1BAC) : calcul d'aire d'un polygone à partir de ses coordonnées.
- Vecteurs et déterminants : Pick complète la formule classique aire = ½|det| qui donne l'aire d'un triangle avec déterminant.
- Récurrence et combinatoire : le comptage de points entiers est typiquement un exercice à mener par récurrence.
- Olympiades mathématiques : Pick apparaît régulièrement dans les problèmes d'olympiade marocaine et internationale. À connaître absolument si tu vises le concours.
🎲 Généralisations
- Pick 3D (Ehrhart) : pour un polytope en dimension 3, il existe un polynôme d'Ehrhart qui généralise Pick. Beaucoup plus complexe.
- Pick sur d'autres réseaux : si on remplace ℤ² par un réseau hexagonal ou triangulaire, la formule change mais reste de la forme aire = α·I + β·B + γ.
- Polygones avec trous : si le polygone a h trous, la formule devient aire = I + B/2 − 1 + h.
Vérifie ta compréhension
3 questions courtes pour valider tes acquis. Tu peux réessayer.