🔺 Regarde-le rouler — et percer un carré
Mode roulement : le triangle de Reuleaux roule sous une planche posée dessus. La planche reste parfaitement plate (largeur constante !) tandis que son centre, lui, monte et descend. Mode trou carré : la même forme tourne dans un carré et le balaie presque entièrement.
Hauteur planche
—
Hauteur centre
—
Largeur w
constante
La planche du haut ne bouge pas d'un poil : la distance entre le sol et la planche reste égale à w, toujours. Le centre du triangle, lui, oscille de bas en haut.
🔺 Une forme qui défie l'intuition
Si je te demande quelle forme peut rouler sous une planche en la gardant toujours à la même hauteur, tu réponds aussitôt : le cercle. C'est l'évidence même — un rondin roule, une roue tourne, rien ne cahote. Et tu aurais raison… mais seulement en partie.
Car le cercle n'est pas la seule forme à avoir cette propriété. Il en existe une infinité d'autres, anguleuses en apparence, bombées sur les bords — et la plus célèbre porte le nom d'un ingénieur allemand du XIXe siècle : Franz Reuleaux.
📐 Comment on le construit
Prends un triangle équilatéral dont les côtés mesurent w. Pour chaque côté, ne trace pas un segment droit : trace un arc de cercle. Le centre de cet arc est le sommet opposé au côté, et son rayon vaut exactement w (la longueur du côté).
Chaque sommet sert de centre pour l'arc situé en face de lui. Comme le rayon vaut toujours w, on obtient un triangle aux côtés bombés vers l'extérieur — le triangle de Reuleaux.
Le résultat est une courbe fermée, lisse partout sauf en ses trois pointes, et dotée d'une propriété remarquable : sa largeur est constante.
📏 Qu'est-ce qu'une « largeur constante » ?
Imagine que tu serres ta forme entre les deux mâchoires parallèles d'un pied à coulisse. La largeur dans une direction donnée, c'est la distance entre ces deux droites parallèles tangentes à la forme. Pour un cercle, cette distance est évidemment toujours égale au diamètre, quelle que soit l'orientation.
Une forme est de largeur constante si la distance entre ses deux tangentes parallèles est la même dans toutes les directions.
Le triangle de Reuleaux vérifie exactement cela. Quand une mâchoire touche un sommet, l'autre est tangente à l'arc opposé — et comme cet arc est un cercle de rayon w centré précisément sur ce sommet, la distance entre les deux mâchoires vaut toujours w. Tourne la forme autant que tu veux : la largeur ne change pas.
C'est exactement ce que montre le mode roulement de l'animation : quand le triangle roule sous la planche, la planche reste à hauteur fixe (= w), même si le triangle pivote et change sans cesse de point de contact.
🛞 Alors il roule… mais l'axe danse
Voici le piège. Un objet de largeur constante roule sans faire monter ni descendre la planche posée dessus : posé sur des rouleaux de Reuleaux, un livre glisse à l'horizontale, impeccablement. La preuve est dans la largeur constante : la planche du haut reste toujours à la distance w du sol.
Mais le centre de la forme, lui, ne reste pas à hauteur constante : il monte et descend à chaque rotation. Regarde le point jaune dans l'animation : il oscille tandis que la planche orange, elle, ne bouge pas.
C'est toute la différence avec le cercle : pour le cercle, le centre est aussi le point fixe. Pour le triangle de Reuleaux, le centre géométrique n'est pas immobile — et c'est précisément pour cela qu'il ne peut pas servir d'axe de roue (on y revient plus bas).
🎯 Le théorème de Barbier : un périmètre surprenant
En 1860, le mathématicien français Joseph-Émile Barbier démontre un résultat stupéfiant : toutes les courbes de largeur constante w ont exactement le même périmètre.
Périmètre = π × w
Autrement dit, le triangle de Reuleaux de largeur w a exactement le même tour qu'un cercle de diamètre w : π × w. C'est contre-intuitif — la forme paraît bien plus « pointue » qu'un cercle — mais le calcul des trois arcs le confirme : chaque arc balaie un angle de 60° (soit π/6 radians de chaque côté), les trois ensemble totalisent un tour de rayon w, et la somme fait exactement π × w.
En revanche, l'aire n'est pas la même : parmi toutes les courbes de largeur constante w, le triangle de Reuleaux est celle d'aire minimale (théorème de Blaschke–Lebesgue), tandis que le cercle est celle d'aire maximale. Son aire vaut 12(π − √3)·w2, un peu plus petite que celle du disque.
⬜ La magie : percer des trous carrés
Fais maintenant tourner un triangle de Reuleaux à l'intérieur d'un carré, en le gardant constamment tangent aux quatre côtés. Comme sa largeur est constante (= côté du carré), il touche toujours les quatre bords à la fois, tandis que son centre décrit une petite courbe.
En tournant, il balaie presque tout le carré : il atteint chaque bord, chaque recoin, sauf de minuscules zones aux quatre coins (environ 1,2 % de l'aire), où il laisse des coins légèrement arrondis. C'est le mode trou carré de l'animation : la zone orange montre tout ce que la forme couvre.
C'est le principe du foret de Harry Watts (1914) : une mèche en forme de triangle de Reuleaux, montée sur un mandrin flottant, perce des trous quasi carrés — utilisés en menuiserie et en mécanique. Le foret ne tourne pas autour d'un axe fixe : son centre suit une petite trajectoire, exactement comme dans la simulation.
🌍 Là où il se cache vraiment
Le triangle de Reuleaux et ses cousins de largeur constante sont partout dès qu'on les cherche :
- Pièces de monnaie britanniques : les 20p et 50p ne sont pas rondes mais des heptagones de Reuleaux (polygones de largeur constante à 7 côtés bombés). Résultat : elles roulent dans les distributeurs et sont reconnues par leur largeur unique, quel que soit leur angle.
- Le moteur rotatif Wankel : son rotor est un triangle de Reuleaux (à peine modifié) qui tourne dans une chambre en forme d'épitrochoïde, créant trois volumes variables — admission, compression, détente. On en trouve dans certaines Mazda.
- Les médiators de guitare ont souvent cette silhouette : trois pointes, trois bords bombés, faciles à tenir dans n'importe quel sens.
- Mécanismes et cames : la largeur constante sert à transformer une rotation en un mouvement de va-et-vient régulier.
🚲 Alors pourquoi les roues de vélo sont rondes ?
Si le triangle de Reuleaux roule aussi bien qu'un cercle, pourquoi ne pas en faire des roues de vélo ? La réponse tient en un mot : l'axe.
Une roue tourne autour d'un essieu fixe, et la hauteur du cycliste dépend de la distance entre le sol et cet axe. Pour le cercle, cet axe est le centre — et le centre reste à hauteur constante. Pour le triangle de Reuleaux, on l'a vu, le centre monte et descend : un vélo équipé de telles roues ferait sauter le cycliste à chaque rotation.
La largeur constante garantit que le haut reste plat — utile pour des rouleaux sous une charge — mais pas que le centre reste fixe, indispensable pour une roue à essieu. Seul le cercle réussit les deux à la fois. C'est pour ça que la roue, elle, doit rester ronde.