Dérivation — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 En Sciences Économiques : la dérivée mesure une variation instantanée : coût marginal, vitesse de croissance d'une grandeur économique.

I. Nombre dérivé

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si la limite suivante existe et est finie :

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

Cette limite s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ .

De manière équivalente, en posant $h = x - a$ :

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

Interprétation géométrique

$f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $a$ .

Équation de la tangente

$T_{a} : y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

II. Fonction dérivée

Si $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$ , la fonction qui à chaque $x \in I$ associe $f^{'} (x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ , notée $f^{'}$ .

III. Tableau des dérivées usuelles

Fonction $f (x)$	Dérivée $f^{'} (x)$	Domaine de dérivabilité
$k$ (constante)	$0$	$R$
$x$	$1$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in N^{*}$ )	$n x^{n - 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$] 0, + \infty [$
$sin x$	$cos x$	$R$
$cos x$	$- sin x$	$R$
$tan x$	$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$	$R ∖ {π /2 + k π}$

IV. Règles de dérivation

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$ , et $k$ une constante.

$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$
$(k u)^{'} = k u^{'}$
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ (si $v \neq = 0$ )
$(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n \cdot u^{n - 1} \cdot u^{'}$ (fonction puissance composée)
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (si $u > 0$ )

V. Lien entre dérivée et sens de variation

Théorème fondamental

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ :

Si $f^{'} (x) > 0$ sur $I$ (sauf en un nombre fini de points), alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f^{'} (x) < 0$ sur $I$ (sauf en un nombre fini de points), alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f^{'} (x) = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Tableau de variations

Pour étudier les variations de $f$ :

Déterminer le domaine $D_{f}$ .
Calculer $f^{'} (x)$ .
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ .
Dresser le tableau de variations.

VI. Extremums

Condition nécessaire

Si $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ (point intérieur du domaine) et si $f$ est dérivable en $x_{0}$ , alors $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Attention : la réciproque est fausse. $f^{'} (x_{0}) = 0$ n'implique pas un extremum (exemple : $f (x) = x^{3}$ en $x = 0$ ).

Critère pratique

$f$ admet un extremum en $x_{0}$ si $f^{'}$ change de signe en $x_{0}$ :

$f^{'}$ passe de positif à négatif → maximum
$f^{'}$ passe de négatif à positif → minimum

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ .
1) Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe.
2) Dresser le tableau de variations de $f$ .
3) Déterminer l'équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ .

Solution :

1) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1)$ .
$f^{'} (x) > 0$ sur $] - \infty, - 1 [\cup] 1, + \infty [$ , $f^{'} (x) < 0$ sur $] - 1, 1 [$ .

2) Tableau :
- $f$ croissante sur $] - \infty, - 1]$
- $f$ décroissante sur $[- 1, 1]$
- $f$ croissante sur $[1, + \infty [$
Maximum local en $- 1$ : $f (- 1) = - 1 + 3 + 2 = 4$ .
Minimum local en $1$ : $f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ .

3) $f (1) = 0$ et $f^{'} (1) = 0$ . Tangente : $y = 0 (x - 1) + 0 = 0$ . C'est l'axe des abscisses.

VIII. Top 6 pièges à éviter

Confondre $(uv)^{'}$ et $u^{'} v^{'}$ . La règle correcte : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
Confondre $(\frac{u}{v})^{'}$ et $\frac{u ^{'}}{v ^{'}}$ . La règle correcte : $\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
Oublier le $u^{'}$ dans la dérivée d'une composée $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$ (et pas seulement $n u^{n - 1}$ ).
Croire que $f^{'} (x_{0}) = 0$ ⇒ extremum. Faux. Il faut un changement de signe de $f^{'}$ .
Oublier le domaine de dérivabilité. Par exemple $x$ n'est pas dérivable en 0.
Confondre stricte monotonie et monotonie. Strict : $f^{'} (x) > 0$ . Large : $f^{'} (x) \geq 0$ .

📈 Figure clé

Tangente à la courbe

🔑 Formules clés à retenir

Nombre dérivé :

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

Tangente en $a$ : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Dérivées usuelles :

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
$(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$

Règles :

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(u / v)^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$

Variation : signe de $f^{'}$

Extremum : changement de signe de $f^{'}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Avant de dériver, simplifie l'expression si possible (mise en facteur, identité remarquable). Ça évite des calculs lourds.
🎯 Pour étudier le signe de $f^{'} (x)$ qui contient une expression compliquée : pose $f^{'} (x) = 0$ et résous, puis fais un tableau de signes.
🎯 N'oublie jamais le $u^{'}$ dans les composées. C'est l'erreur n°1 du chapitre.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Dérivation

Type 1 : Calculer le nombre dérivé par le taux d'accroissement

Quand ? On demande $f^{'} (a)$ par la définition (à partir de la limite), sans utiliser les formules.

Écris le taux d'accroissement : $\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ (ou $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ ).
Simplifie l'expression (souvent une FI $\frac{0}{0}$ à lever par factorisation).
Calcule la limite quand $x \to a$ (ou $h \to 0$ ).
Conclus : cette limite est $f^{'} (a)$ , le nombre dérivé de $f$ en $a$ .

Exemple éclair : Pour $f (x) = x^{2}$ en $a = 3$ : $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3 \to 6$ , donc $f^{'} (3) = 6$ .

Type 2 : Dériver avec les formules usuelles

Quand ? On demande la dérivée d'une fonction construite à partir des fonctions de référence.

Identifie la forme : $x^{n}$ , $x$ , $\frac{1}{x}$ , constante.
Applique les dérivées du cours : $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ , $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ .
Pour une somme : dérive terme à terme. Pour $k \cdot f$ : $(k f)^{'} = k f^{'}$ .

Exemple éclair : $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2 \Rightarrow f^{'} (x) = 6 x - 5$ .

Type 3 : Dériver un produit ou un quotient

Quand ? La fonction est un produit $u v$ ou un quotient $\frac{u}{v}$ de deux expressions en $x$ .

Pose clairement $u$ et $v$ , puis calcule $u^{'}$ et $v^{'}$ .
Produit : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
Quotient : $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
Développe et simplifie le résultat.

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ : $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

Type 4 : Déterminer l'équation de la tangente

Quand ? On demande l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ .

Calcule $f (a)$ (l'ordonnée du point de contact).
Calcule $f^{'} (x)$ puis $f^{'} (a)$ (le coefficient directeur).
Applique la formule : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .
Développe pour obtenir la forme $y = m x + p$ .

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ en $a = 1$ : $f (1) = 1$ , $f^{'} (1) = 2$ , donc $y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

Type 5 : Étudier le signe de la dérivée et les variations

Quand ? On demande le sens de variation de $f$ sur un intervalle.

Calcule $f^{'} (x)$ .
Étudie le signe de $f^{'} (x)$ (factorise, résous $f^{'} (x) = 0$ , fais un tableau de signes).
Applique la règle : $f^{'} > 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f^{'} < 0 \Rightarrow f$ décroissante.
Dresse le tableau de variations.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2} - 4 x$ : $f^{'} (x) = 2 x - 4$ , positif pour $x > 2$ : $f$ décroissante sur $] - \infty, 2]$ , croissante sur $[2, + \infty [$ .

Type 6 : Déterminer un extremum (maximum / minimum)

Quand ? On cherche la valeur où $f$ atteint un maximum ou un minimum (très utile en économie : coût, profit).

Calcule $f^{'} (x)$ et résous l'équation $f^{'} (x) = 0$ .
Étudie le signe de $f^{'}$ de part et d'autre de la solution $x_{0}$ .
Si $f^{'}$ change de $+$ à $-$ : maximum en $x_{0}$ . De $-$ à $+$ : minimum en $x_{0}$ .
Calcule la valeur de l'extremum $f (x_{0})$ .

Exemple éclair : $f (x) = - x^{2} + 6 x$ : $f^{'} (x) = - 2 x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ ; maximum $f (3) = 9$ .

Dérivation — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

19 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

8 exercices

Dérivée d'un polynôme

Facile

Énoncé

Calculer la dérivée de

f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 7

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Dérivation

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Définition

Interprétation géométrique

Équation de la tangente

II. Fonction dérivée

III. Tableau des dérivées usuelles

IV. Règles de dérivation

V. Lien entre dérivée et sens de variation

Théorème fondamental

Tableau de variations

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VIII. Top 6 pièges à éviter

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🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Dérivation

Type 1 : Calculer le nombre dérivé par le taux d'accroissement

Type 2 : Dériver avec les formules usuelles

Type 3 : Dériver un produit ou un quotient

Type 4 : Déterminer l'équation de la tangente

Type 5 : Étudier le signe de la dérivée et les variations

Type 6 : Déterminer un extremum (maximum / minimum)

Dérivation — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Dérivée d'un polynôme

Dérivée d'un produit

Dérivée somme

Dérivée trigonométrique

Nombre dérivé

Dérivée d'un polynôme

Taux de variation d'un coût

Coût marginal

Exercices Intermédiaires

Tangente passant par un point donné

Dérivée et étude de signe

Application : équation de tangente

Étude du sens de variation

Tangente à une courbe

Dérivée d'un quotient

Dérivée d'une racine

Équation de tangente

Sens de variation d'un bénéfice

Recette marginale et optimum

Coût moyen minimal

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Dérivation

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