I. Limites en $+\infty$ et $-\infty$

Limite finie

Limite infinie

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ signifie que $f(x)$ devient arbitrairement grand pour $x$ assez grand.

II. Limites usuelles à connaître par cœur

Limite en un point (limite finie)

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\ell$ : quand $x$ se rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $\ell$.

Si $f$ est continue en $a$ (cas le plus fréquent), alors $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$.

Limite en un point (limite infinie)

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$ et $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$.

III. Opérations sur les limites

Soient $\underset{x\to a}{\lim }f=L$ et $\underset{x\to a}{\lim }g=L^{\prime }$.

• Somme : $\lim (f+g)=L+L^{\prime }$ (sauf forme $+\infty -\infty$)
• Produit : $\lim (fg)=L\cdot L^{\prime }$ (sauf forme $0\times \infty$)
• Quotient : $\lim \frac{f}{g}=\frac{L}{L^{\prime }}$ (sauf $L^{\prime }=0$ ou forme $\frac{\infty }{\infty }$)

IV. Les 4 formes indéterminées (FI)

1. $\frac{0}{0}$
2. $\frac{\infty }{\infty }$
3. $\infty -\infty$
4. $0\times \infty$

Dans ces 4 cas, on doit "lever l'indétermination".

V. Méthode pour lever une FI

Cas $\frac{\infty }{\infty }$ (en $\pm \infty$, fraction de polynômes)

Factoriser numérateur et dénominateur par le terme dominant.

Exemple : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+2x-1}{x^2-5}=\lim \frac{x^2(3+2/x-1/x^2)}{x^2(1-5/x^2)}=3$.

Cas $\frac{0}{0}$ (en un point $a$)

Factoriser numérateur et dénominateur par $(x-a)$.

Exemple : $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\lim \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim (x+2)=4$.

Cas $\infty -\infty$

Factoriser par le terme dominant ou multiplier par la quantité conjuguée (s'il y a des racines).

Exemple : $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})=\lim \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=0$.

VI. Asymptotes

Asymptote horizontale

Si $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\ell$ (finie), alors $C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=\ell$ en $\pm \infty$.

Asymptote verticale

Si $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \infty$, alors $C_f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=a$.

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2-4}$. Étudier ses limites aux bornes de son domaine et déterminer les asymptotes.

Solution :

Domaine : $D_f=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$.

Limites en $\pm \infty$ : $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\lim \frac{2x^2}{x^2}=2$. Donc asymptote horizontale $y=2$.

Limites en $\pm 2$ : Le dénominateur tend vers 0 et le numérateur vers $2\times 4+1=9\ne 0$.
On étudie le signe de $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$, $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$ → asymptote verticale $x=2$.
Idem en $-2$ → asymptote verticale $x=-2$.

VIII. Top 5 pièges à éviter

1. Écrire $\frac{0}{0}=0$ ou $\frac{\infty }{\infty }=1$. Ce sont des FI, à lever obligatoirement.
2. Oublier les limites à gauche / à droite en un point où $f$ n'est pas définie.
3. Factoriser uniquement le numérateur en $\frac{\infty }{\infty }$. Il faut factoriser les deux.
4. Confondre asymptote horizontale et verticale. Horizontale = limite finie en $\infty$. Verticale = limite infinie en un point fini.
5. Oublier le signe du dénominateur en limite "0+" vs "0-". Le signe détermine $+\infty$ ou $-\infty$.