Généralités sur les fonctions numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 En Sciences Économiques : les fonctions décrivent le coût, la recette ou la demande en fonction d'une quantité — la base de l'analyse économique.

I. Vocabulaire de base

Définition — Fonction numérique

Une fonction numérique $f$ d'une variable réelle est une relation qui, à chaque réel $x$ d'une partie $D \subset R$ , associe au plus un réel $f (x)$ . On note :

$f : D \to R, x \mapsto f (x)$

$D$ s'appelle l'ensemble de définition de $f$ , noté $D_{f}$
$f (x)$ est l'image de $x$ par $f$
Si $y = f (x)$ , alors $x$ est un antécédent de $y$ par $f$

Ensemble de définition — les 3 règles à connaître

Pour trouver $D_{f}$ , on cherche les $x$ pour lesquels $f (x)$ existe :

Quotient : $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ exige $v (x) \neq = 0$
Racine carrée : $u (x)$ exige $u (x) \geq 0$
Logarithme (vu plus tard) : $ln (u (x))$ exige $u (x) > 0$

Exemple résolu : Déterminer $D_{f}$ pour $f (x) = \frac{x - 1}{x - 3}$ .
- Racine : $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$
- Dénominateur non nul : $x - 3 \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = 3$
Donc $D_{f} = [1, 3 [\cup] 3, + \infty [$ .

II. Représentation graphique

Le graphe (ou courbe représentative) de $f$ est l'ensemble :

$C_{f} = {M (x, f (x)); x \in D_{f}}$

dans un repère orthonormé $(O; i, j)$ .

III. Parité d'une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur $D_{f}$ symétrique par rapport à $0$ (c'est-à-dire : $x \in D_{f} \Rightarrow - x \in D_{f}$ ).

$f$ est paire si : $\forall x \in D_{f}, f (- x) = f (x)$
$f$ est impaire si : $\forall x \in D_{f}, f (- x) = - f (x)$

Conséquences graphiques

Si $f$ est paire → $C_{f}$ est symétrique par rapport à l'axe $(O y)$
Si $f$ est impaire → $C_{f}$ est symétrique par rapport à l'origine $O$

Exemple :
$f (x) = x^{2}$ est paire car $f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)$ .
$g (x) = x^{3}$ est impaire car $g (- x) = (- x)^{3} = - x^{3} = - g (x)$ .
$h (x) = x^{2} + x$ n'est ni paire ni impaire car $h (- x) = x^{2} - x \neq = h (x)$ et $\neq = - h (x)$ .

Méthode BAC pour étudier la parité

Vérifier que $D_{f}$ est symétrique par rapport à $0$ . Sinon, $f$ n'est ni paire ni impaire.
Calculer $f (- x)$ .
Comparer à $f (x)$ et $- f (x)$ .

IV. Périodicité

Définition

$f$ est périodique de période $T > 0$ si :

$x \in D_{f} \Rightarrow x + T \in D_{f}$ et $x - T \in D_{f}$
$\forall x \in D_{f}, f (x + T) = f (x)$

La plus petite période strictement positive (si elle existe) s'appelle la période principale.

Exemples fondamentaux

$sin$ et $cos$ sont $2 π$ -périodiques
$tan$ est $π$ -périodique
$x \mapsto sin (2 x)$ est $π$ -périodique (la période est divisée par 2)

V. Sens de variation

Définition

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . On dit que :

$f$ est croissante sur $I$ si : $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} \leq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2})$
$f$ est strictement croissante sur $I$ si : $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$
$f$ est décroissante sur $I$ si : $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} \leq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \geq f (x_{2})$
$f$ est constante sur $I$ si : $\forall x_{1}, x_{2} \in I, f (x_{1}) = f (x_{2})$

Une fonction monotone est croissante OU décroissante (sens unique).

Méthode pour étudier le sens de variation (sans dérivée)

On utilise le taux d'accroissement :

$T (x_{1}, x_{2}) = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$

Si $T (x_{1}, x_{2}) > 0$ pour tous $x_{1} \neq = x_{2}$ dans $I$ → $f$ strictement croissante
Si $T (x_{1}, x_{2}) < 0$ pour tous $x_{1} \neq = x_{2}$ dans $I$ → $f$ strictement décroissante

Exemple : Étudier les variations de $f (x) = x^{2}$ sur $[0, + \infty [$ .
Soient $0 \leq x_{1} < x_{2}$ . Alors $T = \frac{x _{2}^{2} - x _{1}^{2}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{( x _{2} - x _{1} ) ( x _{2} + x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} = x_{1} + x_{2} > 0$ .
Donc $f$ est strictement croissante sur $[0, + \infty [$ .

VI. Extremums d'une fonction

Définition

Soit $f$ définie sur $D$ et $x_{0} \in D$ .

$f$ admet un maximum en $x_{0}$ si : $\forall x \in D, f (x) \leq f (x_{0})$ . La valeur $f (x_{0})$ est le maximum de $f$ .
$f$ admet un minimum en $x_{0}$ si : $\forall x \in D, f (x) \geq f (x_{0})$
Un extremum est soit un maximum, soit un minimum.

Encadrement et extremums

Si $\forall x \in D, m \leq f (x) \leq M$ , alors :

$f$ est minorée par $m$ (mais $m$ n'est pas forcément atteint)
$f$ est majorée par $M$
$f$ est bornée

VII. Comparaison de fonctions et position relative

Pour comparer deux courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ sur un intervalle $I$ , on étudie le signe de $f (x) - g (x)$ :

$f (x) - g (x) > 0$ sur $I$ : $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ sur $I$
$f (x) - g (x) < 0$ sur $I$ : $C_{f}$ est en dessous de $C_{g}$ sur $I$
$f (x) - g (x) = 0$ : les courbes se coupent au point d'abscisse $x$

VIII. Méthode BAC type 2024

Énoncé classique : Soit $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .
1) Déterminer $D_{f}$ .
2) Étudier la parité de $f$ .
3) Comparer $f$ avec la fonction $g : x \mapsto 2$ .

Solution :

1) $f (x)$ existe si $x - 1 \neq = 0$ , soit $x \neq = 1$ . Donc $D_{f} = R ∖ {1}$ .

2) $D_{f}$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ (car $1 \in / D_{f}$ mais $- 1 \in D_{f}$ ). Donc $f$ n'est ni paire ni impaire.

3) $f (x) - g (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1} - 2 = \frac{2 x + 1 - 2 ( x - 1 )}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}$ .
Donc :

Si $x > 1$ : $\frac{3}{x - 1} > 0$ donc $C_{f}$ est au-dessus de la droite $y = 2$
Si $x < 1$ : $\frac{3}{x - 1} < 0$ donc $C_{f}$ est en dessous de la droite $y = 2$

IX. Top 5 pièges à éviter

Oublier la symétrie de $D_{f}$ avant d'étudier la parité. Si $D_{f}$ n'est pas symétrique, la fonction n'est NI paire NI impaire, point final.
Confondre "croissante au sens large" et "strictement croissante". La différence : $\leq$ vs $<$ . Pour montrer la stricte monotonie, il faut $<$ strict.
Confondre "bornée par M" et "maximum vaut M". $f$ peut être bornée par $M$ sans jamais l'atteindre (ex : $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ sur $R^{+}$ , bornée par 1 mais ne vaut jamais 1).
Oublier le domaine dans le tableau de variations. Toujours commencer par $D_{f}$ .
Confondre $f (- x)$ et $- f (x)$ . $f (- x)$ = on remplace $x$ par $- x$ dans la formule. $- f (x)$ = on prend l'opposé du résultat.

X. À retenir

$D_{f}$ : 3 règles (quotient, racine, log). Toujours commencer par là.
Parité : 2 conditions (domaine symétrique + $f (- x) = \pm f (x)$ ).
Périodicité : $sin / cos$ ( $2 π$ ), $tan$ ( $π$ ).
Sens de variation : taux d'accroissement. La dérivée (chapitre suivant) sera plus rapide.
Comparaison de courbes : étudier le signe de $f - g$ .

📈 Figure clé

Courbe de

f (x) = x^{2}

🔑 Formules clés à retenir

Domaine de définition :

Quotient : dénominateur $\neq = 0$
Racine : argument $\geq 0$
Log : argument $> 0$

Parité :

Paire : $f (- x) = f (x)$ , symétrie / $(O y)$
Impaire : $f (- x) = - f (x)$ , symétrie / origine

Périodicité : $f (x + T) = f (x)$ , période $T$

$sin, cos$ : période $2 π$
$tan$ : période $π$

Variation (taux d'accroissement) :

$T = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$

Comparaison de courbes : étudier le signe de $f (x) - g (x)$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Pour la parité : vérifie TOUJOURS la symétrie du domaine en premier. Si $D_{f}$ n'est pas symétrique par rapport à 0, inutile de continuer — $f$ n'est ni paire ni impaire.
🎯 Pour le sens de variation : si l'énoncé donne une expression compliquée, essaie d'abord d'écrire $f (x_{2}) - f (x_{1})$ et de factoriser par $(x_{2} - x_{1})$ .
🎯 Pour la périodicité : retiens que $sin (ω x)$ a pour période $\frac{2 π}{∣ ω ∣}$ . Donc $sin (3 x)$ a période $\frac{2 π}{3}$ .
🎯 Pour comparer 2 courbes : factoriser $f (x) - g (x)$ pour faire apparaître le signe clairement (souvent un produit ou un quotient).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Généralités sur les fonctions

Type 1 : Déterminer le domaine de définition

Quand ? Dès qu'on te donne une fonction et qu'on demande $D_{f}$ , ou avant toute étude.

Repère la forme : quotient, racine, ou combinaison.
Quotient $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ : impose $v (x) \neq = 0$ , résous $v (x) = 0$ et exclus ces valeurs.
Racine $u (x)$ : impose $u (x) \geq 0$ , résous l'inéquation.
Combine les conditions par intersection.
Écris $D_{f}$ sous forme d'intervalles (ou réunion).

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x - 1}{x - 3}$ : il faut $x - 1 \geq 0$ et $x - 3 \neq = 0$ , donc $D_{f} = [1; 3 [\cup] 3; + \infty [$ .

Type 2 : Étudier la parité d'une fonction

Quand ? On demande si $f$ est paire, impaire, ou pour simplifier l'étude/la courbe.

Vérifie d'abord que $D_{f}$ est symétrique par rapport à $0$ (si $x \in D_{f}$ alors $- x \in D_{f}$ ). Sinon, ni paire ni impaire.
Calcule $f (- x)$ en remplaçant $x$ par $- x$ .
Si $f (- x) = f (x)$ : $f$ est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe $(O y)$ ).
Si $f (- x) = - f (x)$ : $f$ est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine $O$ ).
Sinon, conclus : ni paire ni impaire.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2} - cos x$ sur $R$ : $f (- x) = (- x)^{2} - cos (- x) = x^{2} - cos x = f (x)$ , donc $f$ est paire.

Type 3 : Étudier le sens de variation par le taux d'accroissement

Quand ? On demande de montrer que $f$ est croissante/décroissante sur un intervalle $I$ sans dérivée.

Prends deux réels $a$ et $b$ de $I$ avec $a < b$ .
Forme le taux $T = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ et simplifie l'expression.
Étudie le signe de $T$ sur $I$ .
Si $T > 0$ : $f$ est strictement croissante ; si $T < 0$ : strictement décroissante.
Conclus en précisant l'intervalle.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ sur $[0; + \infty [$ : $T = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{b - a} = b + a > 0$ , donc $f$ est strictement croissante.

Type 4 : Comparer $f$ à une fonction de référence (variations composées)

Quand ? $f$ s'écrit à partir d'une fonction connue ( $x \mapsto x$ , $x \mapsto \frac{1}{x}$ , $x \mapsto x^{2}$ ...).

Identifie la fonction de référence $u$ et sa monotonie sur l'intervalle.
Décris la chaîne d'opérations appliquée à $u$ (somme, $\times$ constante, racine...).
Applique les règles : multiplier par $k > 0$ conserve le sens, par $k < 0$ l'inverse.
Si $u$ croissante et $g$ croissante alors $g \circ u$ croissante ; un sens contraire inverse.
Conclus sur la monotonie de $f$ .

Exemple éclair : $f (x) = - x + 2$ sur $[0; + \infty [$ : $x$ croissante, le $-$ inverse, donc $f$ est décroissante.

Type 5 : Déterminer les extremums sur un intervalle

Quand ? On demande le maximum/minimum de $f$ ou de l'encadrer.

Dresse le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle demandé.
Repère les changements de sens : un passage croissant $\to$ décroissant donne un maximum.
Calcule la valeur de $f$ au point concerné.
Précise : extremum atteint en $x_{0}$ , valeur $f (x_{0})$ .
Au besoin, donne l'encadrement $m \leq f (x) \leq M$ .

Exemple éclair : $f (x) = - x^{2} + 4$ admet un maximum en $x = 0$ valant $f (0) = 4$ , et $f (x) \leq 4$ sur $R$ .

Type 6 : Étudier le signe de $f$ (position par rapport à l'axe des abscisses)

Quand ? On demande le signe de $f (x)$ ou la position de $C_{f}$ par rapport à $(O x)$ .

Résous l'équation $f (x) = 0$ pour trouver les valeurs qui annulent $f$ .
Factorise $f (x)$ si possible (produit/quotient de facteurs simples).
Dresse un tableau de signes des facteurs.
Déduis le signe de $f (x)$ sur chaque intervalle.
Conclus : $C_{f}$ au-dessus de $(O x)$ si $f (x) > 0$ , en dessous si $f (x) < 0$ .

Exemple éclair : $f (x) = (x - 1) (x + 2)$ : $f (x) > 0$ sur $] - \infty; - 2 [\cup] 1; + \infty [$ et $f (x) < 0$ sur $] - 2; 1 [$ .

Type 7 : Comparer deux fonctions (position relative de deux courbes)

Quand ? On demande de comparer $f$ et $g$ , ou la position de $C_{f}$ par rapport à $C_{g}$ .

Forme la différence $d (x) = f (x) - g (x)$ .
Étudie le signe de $d (x)$ (factorisation puis tableau de signes).
Si $d (x) > 0$ : $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ ; si $d (x) < 0$ : en dessous.
Les points où $d (x) = 0$ sont les points d'intersection.
Conclus selon l'intervalle.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x$ : $d (x) = x^{2} - x = x (x - 1)$ , donc $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ pour $x < 0$ ou $x > 1$ .

Généralités sur les fonctions numériques — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

Exercices Faciles

7 exercices

Domaine de définition

Facile

Énoncé

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

f

définie par

f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Bijection et image

Facile

Énoncé

Soit

f : [0, + \infty [\to [0, + \infty [

définie par

f (x) = x^{2}

. Montrer que

f

est une bijection et trouver

f^{- 1}

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Domaine et inégalité

Facile

Énoncé

Déterminer le domaine de définition de

f (x) = \frac{1}{x - 4}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Étude de parité d'une somme

Facile

Énoncé

Soit

f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 1

sur

R

. Étudier la parité.

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Composition de fonctions

Facile

Énoncé

Soit

f (x) = 2 x + 1

g (x) = x^{2}

. Calculer

(f \circ g) (x)

(g \circ f) (x)

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Image directe d'un intervalle

Facile

Énoncé

Soit

f (x) = x^{2}

définie sur

R

. Déterminer

f ([- 2, 3])

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Domaine avec racine et fraction

Facile

Énoncé

Déterminer le domaine de définition de

f (x) = \frac{4 - x}{x - 1}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

7 exercices

Variation par taux d'accroissement

Intermédiaire

Énoncé

Étudier le sens de variation de

f (x) = x + x

sur

[0, + \infty [

en utilisant le taux d'accroissement.

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Représentation graphique d'une transformation

Intermédiaire

Énoncé

On considère

f (x) = x^{2}

g (x) = - (x - 1)^{2} + 3

. Décrire les transformations qui passent de

C_{f}

C_{g}

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Image et antécédents

Intermédiaire

Énoncé

Soit

f (x) = x^{2} - 4 x

. Déterminer les antécédents de

- 3

par

f

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Encadrement d'une fonction

Intermédiaire

Énoncé

Montrer que pour tout

x \in R

- 1 \leq \frac{x}{x ^{2} + 1} \leq 1

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Étude de la parité

Intermédiaire

Énoncé

Étudier la parité de la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1}

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Extremum d'une fonction

Intermédiaire

Énoncé

Soit

f (x) = x^{2} - 4 x + 7

. Montrer que

f

admet un minimum sur

R

et le déterminer.

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Fonction associée (translation)

Intermédiaire

Énoncé

Soit

f (x) = x^{2}

g (x) = (x - 3)^{2} + 2

. Décrire la transformation géométrique permettant de passer de

C_{f}

C_{g}

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

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Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. Vocabulaire de base

Définition — Fonction numérique

Ensemble de définition — les 3 règles à connaître

II. Représentation graphique

III. Parité d'une fonction

Définition

Conséquences graphiques

Méthode BAC pour étudier la parité

IV. Périodicité

Définition

Exemples fondamentaux

V. Sens de variation

Définition

Méthode pour étudier le sens de variation (sans dérivée)

VI. Extremums d'une fonction

Définition

Encadrement et extremums

VII. Comparaison de fonctions et position relative

VIII. Méthode BAC type 2024

IX. Top 5 pièges à éviter

X. À retenir

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Généralités sur les fonctions

Type 1 : Déterminer le domaine de définition

Type 2 : Étudier la parité d'une fonction

Type 3 : Étudier le sens de variation par le taux d'accroissement

Type 4 : Comparer f à une fonction de référence (variations composées)

Type 5 : Déterminer les extremums sur un intervalle

Type 6 : Étudier le signe de f (position par rapport à l'axe des abscisses)

Type 7 : Comparer deux fonctions (position relative de deux courbes)

Généralités sur les fonctions numériques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Domaine de définition

Bijection et image

Domaine et inégalité

Étude de parité d'une somme

Composition de fonctions

Image directe d'un intervalle

Domaine avec racine et fraction

Exercices Intermédiaires

Variation par taux d'accroissement

Représentation graphique d'une transformation

Image et antécédents

Encadrement d'une fonction

Étude de la parité

Extremum d'une fonction

Fonction associée (translation)

Exercices supplémentaires

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Type 4 : Comparer $f$ à une fonction de référence (variations composées)

Type 6 : Étudier le signe de $f$ (position par rapport à l'axe des abscisses)