Suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 En Sciences Économiques : les suites modélisent l'évolution d'un capital, d'un stock ou d'une population période après période.

I. Définition d'une suite numérique

Définition

Une suite numérique est une fonction $u$ définie d'une partie de $N$ vers $R$ . On note $u_{n}$ au lieu de $u (n)$ et on note la suite $(u_{n})_{n \geq 0}$ ou simplement $(u_{n})$ .

$n$ s'appelle l'indice ou le rang
$u_{n}$ est le terme général ou terme de rang $n$

Les 2 modes de définition d'une suite

Formule explicite : on connaît $u_{n}$ en fonction de $n$ . Ex : $u_{n} = 2 n + 1$ .
Relation de récurrence : on connaît $u_{0}$ et une formule $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Ex : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ .

II. Suites arithmétiques

Définition

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si : $\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} + r$ .

Formules à connaître par cœur

Terme général : $u_{n} = u_{0} + n r$
Forme générale : $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ (à partir d'un rang $p$ )
Somme : $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$

Comment reconnaître une suite arithmétique ?

Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ . Si c'est une constante (indépendante de $n$ ), c'est une suite arithmétique de raison cette constante.

Exemple : $u_{n} = 3 n - 2$ . Alors $u_{n + 1} - u_{n} = (3 (n + 1) - 2) - (3 n - 2) = 3$ . Donc $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r = 3$ .

III. Suites géométriques

Définition

$(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ (avec $q \neq = 0$ ) si : $\forall n \in N, u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$ .

Formules à connaître par cœur

Terme général : $u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$
Forme générale : $u_{n} = u_{p} \cdot q^{n - p}$
Somme (si $q \neq = 1$ ) : $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \cdot \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$
Somme (si $q = 1$ ) : $S_{n} = (n + 1) u_{0}$

Comment reconnaître une suite géométrique ?

Calculer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ (à condition que $u_{n} \neq = 0$ ). Si c'est une constante, c'est une suite géométrique de raison cette constante.

Exemple : $u_{n} = 5 \times 2^{n}$ . Alors $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{5 \times 2 ^{n + 1}}{5 \times 2 ^{n}} = 2$ . Donc $(u_{n})$ est géométrique de raison $q = 2$ .

IV. Sens de variation d'une suite

Définition

$(u_{n})$ est croissante si : $\forall n \in N, u_{n + 1} \geq u_{n}$
$(u_{n})$ est décroissante si : $\forall n \in N, u_{n + 1} \leq u_{n}$
$(u_{n})$ est constante si : $\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n}$

3 méthodes pour étudier le sens de variation

Méthode 1 : étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ . Si $> 0$ → croissante. Si $< 0$ → décroissante.
Méthode 2 (si tous les $u_{n} > 0$ ) : comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à 1. Si $> 1$ → croissante. Si $< 1$ → décroissante.
Méthode 3 (si $u_{n} = f (n)$ explicite) : étudier le sens de variation de $f$ sur $[0, + \infty [$ .

V. Suites majorées, minorées, bornées

$(u_{n})$ est majorée par $M$ si : $\forall n \in N, u_{n} \leq M$
$(u_{n})$ est minorée par $m$ si : $\forall n \in N, u_{n} \geq m$
$(u_{n})$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé classique : Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ .
1) Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ .
2) Montrer que la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n} = u_{n} + 3$ est géométrique.
3) En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Solution :

1) $u_{1} = 2 \times 1 + 3 = 5$ , $u_{2} = 2 \times 5 + 3 = 13$ , $u_{3} = 2 \times 13 + 3 = 29$ .

2) $v_{n + 1} = u_{n + 1} + 3 = (2 u_{n} + 3) + 3 = 2 u_{n} + 6 = 2 (u_{n} + 3) = 2 v_{n}$ .
Donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $q = 2$ , et $v_{0} = u_{0} + 3 = 4$ .

3) $v_{n} = v_{0} \cdot q^{n} = 4 \cdot 2^{n} = 2^{n + 2}$ . Donc $u_{n} = v_{n} - 3 = 2^{n + 2} - 3$ .

VII. Top 6 pièges à éviter

Confondre suite arithmétique et géométrique. Arithmétique = on AJOUTE $r$ . Géométrique = on MULTIPLIE par $q$ .
Oublier la condition $q \neq = 0$ pour la suite géométrique (sinon ce n'est plus une suite géométrique au sens strict).
Mal compter le nombre de termes dans la somme. $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ contient $n + 1$ termes (pas $n$ ).
Oublier de vérifier le premier terme dans une démonstration par récurrence.
Appliquer la formule $S_{n} = u_{0} \cdot \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ avec $q = 1$ . Diviser par 0 ! Utiliser le cas particulier $S_{n} = (n + 1) u_{0}$ .
Confondre $u_{n + 1}$ et $u_{n} + 1$ . Le premier est "le terme suivant", le second est "le terme actuel plus 1".

📈 Figure clé

Suite géométrique

🔑 Formules clés à retenir

Suite arithmétique (raison $r$ , on AJOUTE) :

$u_{n + 1} = u_{n} + r$
$u_{n} = u_{0} + n r$
$S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$

Suite géométrique (raison $q$ , on MULTIPLIE) :

$u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$
$u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$
$S_{n} = u_{0} \cdot \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ (si $q \neq = 1$ )

Sens de variation :

Signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ → croissante / décroissante
Si $u_{n} > 0$ , comparer $u_{n + 1} / u_{n}$ à 1

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Reconnaissance rapide : calcule $u_{1} - u_{0}$ et $u_{2} - u_{1}$ . Si égaux → arithmétique. Sinon, essaie $u_{1} / u_{0}$ et $u_{2} / u_{1}$ . Si égaux → géométrique.
🎯 Suite auxiliaire $v_{n}$ géométrique : technique classique du BAC. Quand $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ , pose $v_{n} = u_{n} - ℓ$ où $ℓ$ est le point fixe ( $ℓ = a ℓ + b$ ).
🎯 Mémorise la formule somme géométrique : "1 moins q à la (n+1)" sur "1 moins q". Le piège est l'exposant $n + 1$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Suites numériques

Type 1 : Montrer qu'une suite est arithmétique

Quand ? On soupçonne une raison constante par addition, ou on demande de le prouver.

Calcule la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ pour tout $n$ .
Simplifie l'expression obtenue.
Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$ : la suite est arithmétique de raison $r$ .
Précise le premier terme $u_{0}$ (ou $u_{1}$ ).
Conclus.

Exemple éclair : $u_{n} = 3 n + 2$ : $u_{n + 1} - u_{n} = 3 (n + 1) + 2 - (3 n + 2) = 3$ , donc arithmétique de raison $3$ .

Type 2 : Montrer qu'une suite est géométrique

Quand ? On soupçonne une raison constante par multiplication (termes non nuls).

Vérifie que les termes sont non nuls.
Calcule le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ .
Simplifie l'expression.
Si le résultat est une constante $q$ indépendante de $n$ : la suite est géométrique de raison $q$ .
Précise le premier terme et conclus.

Exemple éclair : $u_{n} = 5 \times 2^{n}$ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{5 \times 2 ^{n + 1}}{5 \times 2 ^{n}} = 2$ , donc géométrique de raison $2$ .

Type 3 : Calculer un terme avec le terme général

Quand ? On veut $u_{n}$ pour un rang donné, connaissant la nature de la suite.

Arithmétique : $u_{n} = u_{0} + n r$ (ou $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ ).
Géométrique : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ (ou $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ ).
Identifie $u_{0}$ (ou $u_{p}$ ), la raison, et le rang demandé.
Remplace et calcule.
Donne la valeur du terme.

Exemple éclair : Suite géométrique $u_{0} = 3$ , $q = 2$ : $u_{5} = 3 \times 2^{5} = 3 \times 32 = 96$ .

Type 4 : Calculer une somme de termes consécutifs

Quand ? On demande $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ pour une suite arithmétique ou géométrique.

Compte le nombre de termes $N$ (de $u_{p}$ à $u_{n}$ : $N = n - p + 1$ ).
Arithmétique : $S = N \times \frac{u _{premier} + u _{dernier}}{2}$ .
Géométrique ( $q \neq = 1$ ) : $S = u_{premier} \times \frac{1 - q ^{N}}{1 - q}$ .
Remplace les valeurs.
Calcule et conclus.

Exemple éclair : $1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 5050$ .

Type 5 : Étudier la monotonie d'une suite

Quand ? On demande si la suite est croissante, décroissante ou constante.

Méthode 1 : étudie le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ (positif $\Rightarrow$ croissante).
Méthode 2 (termes positifs) : compare $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .
Pour une géométrique : regarde le signe de $u_{0}$ et la valeur de $q$ par rapport à $1$ .
Conclus le sens de variation.
Précise sur quel ensemble d'indices.

Exemple éclair : $u_{n} = n^{2}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1 > 0$ , donc la suite est strictement croissante.

Type 6 : Reconnaître une suite définie par récurrence

Quand ? La suite est donnée par $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ et on veut en déterminer la nature.

Si $u_{n + 1} = u_{n} + r$ : arithmétique de raison $r$ .
Si $u_{n + 1} = q u_{n}$ : géométrique de raison $q$ .
Sinon ( $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq = 1$ , $b \neq = 0$ ) : introduis une suite auxiliaire $v_{n} = u_{n} - ℓ$ où $ℓ$ est le point fixe ( $ℓ = a ℓ + b$ ).
Montre que $v_{n}$ est géométrique de raison $a$ .
Reviens à $u_{n}$ via $u_{n} = v_{n} + ℓ$ .

Exemple éclair : $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ : point fixe $ℓ = - 3$ ; $v_{n} = u_{n} + 3$ est géométrique de raison $2$ .

Type 7 : Encadrer une suite ou étudier sa limite (approche)

Quand ? On demande le comportement des termes quand $n$ devient grand.

Pour une géométrique de raison $q$ : si $- 1 < q < 1$ les termes tendent vers $0$ .
Si $q > 1$ et $u_{0} > 0$ : les termes deviennent de plus en plus grands.
Pour une arithmétique de raison $r$ : si $r > 0$ croissance illimitée, si $r < 0$ décroissance illimitée.
Calcule quelques termes pour confirmer la tendance.
Conclus le comportement quand $n$ grandit.

Exemple éclair : $u_{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ : comme $0 < \frac{1}{2} < 1$ , les termes se rapprochent de $0$ quand $n$ grandit.

Suites numériques — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

19 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 19 corrigés

Exercices Faciles

9 exercices

Placement à intérêts simples

Facile

Énoncé

Un épargnant place un capital de

C_{0} = 8000

dirhams dans un compte rémunéré à intérêts simples au taux annuel de

4%

. On note

C_{n}

le capital disponible après

n

années.

1) Justifier que la suite

(C_{n})

est arithmétique et préciser sa raison

r

.
2) Exprimer

C_{n}

en fonction de

n

.
3) Calculer le capital disponible après

5

ans.
4) Au bout de combien d'années le capital aura-t-il augmenté de

1600

dirhams ?

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Placement à intérêts composés

Facile

Énoncé

Une famille place

C_{0} = 15000

dirhams à intérêts composés au taux annuel de

3%

. On note

C_{n}

le capital après

n

années.

1) Montrer que

(C_{n})

est géométrique de raison

q

à préciser.
2) Exprimer

C_{n}

en fonction de

n

.
3) Calculer, arrondi au dirham, le capital après

4

ans.
4) Calculer l'intérêt total gagné au bout de ces

4

années.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Suite arithmétique

Facile

Énoncé

Soit

(u_{n})

une suite arithmétique de premier terme

u_{0} = 5

et de raison

r = 3

. Calculer

u_{10}

et la somme

S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{10}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Suite géométrique : terme général

Facile

Énoncé

Une suite géométrique

(v_{n})

v_{2} = 12

v_{5} = 324

. Trouver la raison

q

v_{0}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Reconnaître arithmétique/géométrique

Facile

Énoncé

Pour chaque suite, dire si elle est arithmétique, géométrique ou aucune :
(a)

u_{n} = 3 n + 5

(b)

v_{n} = 2 \cdot 5^{n}

(c)

w_{n} = n^{2}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Calcul de termes

Facile

Énoncé

Soit

(u_{n})

définie par

u_{0} = 2

u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1

. Calculer

u_{1}

u_{2}

u_{3}

u_{4}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Recherche de la raison

Facile

Énoncé

Une suite arithmétique vérifie

u_{3} = 7

u_{10} = 28

. Trouver le premier terme

u_{0}

et la raison

r

Ma réponse

Prof Hicham

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Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Somme géométrique

Facile

Énoncé

Calculer la somme

S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2 ^{10}}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Somme d'une suite arithmétique

Facile

Énoncé

Calculer

S = 1 + 4 + 7 + 10 + \dots + 100

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

10 exercices

Comparaison intérêts simples / composés

Intermédiaire

Énoncé

Deux investisseurs placent chacun

10000

dirhams au taux annuel de

5%

∙

Adil choisit les intérêts simples : on note

A_{n}

son capital après

n

ans.

∙

Bouchra choisit les intérêts composés : on note

B_{n}

son capital après

n

ans.

1) Exprimer

A_{n}

B_{n}

en fonction de

n

.
2) Calculer

A_{2}

B_{2}

. Que constate-t-on ?
3) Calculer

A_{10}

B_{10}

(arrondis au dirham) et comparer.
4) Expliquer économiquement pourquoi

B_{n} \geq A_{n}

pour tout

n \geq 1

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Évolution d'un stock de marchandises

Intermédiaire

Énoncé

Un grossiste détient en stock

S_{0} = 2400

unités d'un produit au

1^{er}

janvier. Chaque mois, il vend

20%

de son stock puis reçoit une livraison fixe de

300

unités. On note

S_{n}

le stock à la fin du mois

n

.

1) Justifier que

S_{n + 1} = 0, 8 S_{n} + 300

.
2) On pose

u_{n} = S_{n} - 1500

. Montrer que

(u_{n})

est géométrique de raison

0, 8

.
3) Exprimer

u_{n}

puis

S_{n}

en fonction de

n

.
4) Vers quelle valeur le stock tend-il à long terme ? Interpréter.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Amortissement d'un équipement

Intermédiaire

Énoncé

Une entreprise achète une machine d'une valeur de

V_{0} = 120000

dirhams. Sa valeur comptable diminue de

15%

chaque année (amortissement dégressif). On note

V_{n}

la valeur de la machine après

n

années.

1) Montrer que

(V_{n})

est géométrique et préciser sa raison.
2) Exprimer

V_{n}

en fonction de

n

.
3) Calculer la valeur de la machine après

3

ans (arrondie au dirham).
4) Déterminer la première année où la valeur devient inférieure à

60000

dirhams.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Démontrer qu'une suite est arithmétique

Intermédiaire

Énoncé

Soit

u_{n} = 2 n + 5

pour

n \geq 0

. Montrer que

(u_{n})

est arithmétique et donner sa raison.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Comparaison croissance arith vs géo

Intermédiaire

Énoncé

Soit

a_{n} = 3 n

(arithmétique) et

g_{n} = 2^{n}

(géométrique). À partir de quel rang

n

a-t-on

g_{n} > a_{n}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Sens de variation

Intermédiaire

Énoncé

Étudier le sens de variation de

u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Application : épargne mensuelle

Intermédiaire

Énoncé

Une personne dépose 500 DH chaque mois dans un compte épargne sans intérêts. Soit

u_{n}

le total après

n

mois. Donner l'expression de

u_{n}

et calculer

u_{12}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Suite géométrique

Intermédiaire

Énoncé

Soit

(v_{n})

définie par

v_{0} = 2

v_{n + 1} = 3 v_{n}

. Montrer que

(v_{n})

est géométrique, donner son terme général, puis calculer

v_{5}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Variation d'une suite

Intermédiaire

Énoncé

Étudier la monotonie de la suite

(u_{n})

définie par

u_{n} = \frac{n}{n + 1}

pour

n \in N

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Problème concret (épargne)

Intermédiaire

Énoncé

Un élève dépose 1000 DH sur un compte à intérêts composés de 3% par an. Quelle somme aura-t-il après 5 ans ?

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

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I. Définition d'une suite numérique

Définition

Les 2 modes de définition d'une suite

II. Suites arithmétiques

Définition

Formules à connaître par cœur

Comment reconnaître une suite arithmétique ?

III. Suites géométriques

Définition

Formules à connaître par cœur

Comment reconnaître une suite géométrique ?

IV. Sens de variation d'une suite

Définition

3 méthodes pour étudier le sens de variation

V. Suites majorées, minorées, bornées

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 6 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Suites numériques

Type 1 : Montrer qu'une suite est arithmétique

Type 2 : Montrer qu'une suite est géométrique

Type 3 : Calculer un terme avec le terme général

Type 4 : Calculer une somme de termes consécutifs

Type 5 : Étudier la monotonie d'une suite

Type 6 : Reconnaître une suite définie par récurrence

Type 7 : Encadrer une suite ou étudier sa limite (approche)

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Exercices interactifs

Exercices Faciles

Placement à intérêts simples

Placement à intérêts composés

Suite arithmétique

Suite géométrique : terme général

Reconnaître arithmétique/géométrique

Calcul de termes

Recherche de la raison

Somme géométrique

Somme d'une suite arithmétique

Exercices Intermédiaires

Comparaison intérêts simples / composés

Évolution d'un stock de marchandises

Amortissement d'un équipement

Démontrer qu'une suite est arithmétique

Comparaison croissance arith vs géo

Sens de variation

Application : épargne mensuelle

Suite géométrique

Variation d'une suite

Problème concret (épargne)

Exercices supplémentaires

—

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