Trigonométrie 2 — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 En Sciences Économiques : la trigonométrie modélise des phénomènes périodiques comme la saisonnalité des ventes.

I. Rappels essentiels

Valeurs remarquables (à connaître par cœur)

$x$	$0$	$π /6$	$π /4$	$π /3$	$π /2$
$sin x$	$0$	$1/2$	$2 /2$	$3 /2$	$1$
$cos x$	$1$	$3 /2$	$2 /2$	$1/2$	$0$
$tan x$	$0$	$3 /3$	$1$	$3$	—

Relations fondamentales

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$
$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ (si $cos x \neq = 0$ )
$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$

II. Formules d'addition

$cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$
$cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$
$sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$
$sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b$

III. Formules de duplication

$cos (2 a) = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a$
$sin (2 a) = 2 sin a cos a$
$tan (2 a) = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}$

IV. Équations trigonométriques fondamentales

Équation $cos x = a$

Si $∣ a ∣ > 1$ : pas de solution.

Si $∣ a ∣ \leq 1$ : il existe $α$ tel que $cos α = a$ . Solutions :

$x = α + 2 k π ou x = - α + 2 k π, k \in Z$

Équation $sin x = a$

Si $∣ a ∣ \leq 1$ : il existe $α$ tel que $sin α = a$ . Solutions :

$x = α + 2 k π ou x = π - α + 2 k π, k \in Z$

Équation $tan x = a$

Solutions : $x = α + k π$ , $k \in Z$ (où $α$ vérifie $tan α = a$ ).

V. Inéquations trigonométriques

Méthode : utiliser le cercle trigonométrique pour visualiser les arcs solutions.

Exemple : Résoudre $cos x \geq 1/2$ sur $[0, 2 π]$ .
$cos x = 1/2 \Leftrightarrow x = π /3$ ou $x = - π /3 + 2 π = 5 π /3$ .
Sur le cercle, $cos x \geq 1/2$ correspond à l'arc à droite de l'axe vertical à hauteur $1/2$ .
Solutions sur $[0, 2 π]$ : $x \in [0, π /3] \cup [5 π /3, 2 π]$ .

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Résoudre dans $R$ l'équation $2 cos^{2} x - 3 cos x + 1 = 0$ .

Solution : Posons $X = cos x$ . L'équation devient $2 X^{2} - 3 X + 1 = 0$ .
$Δ = 9 - 8 = 1$ . $X = \frac{3 \pm 1}{4}$ , donc $X = 1$ ou $X = 1/2$ .

Cas $cos x = 1$ : $x = 2 k π$ , $k \in Z$ .

Cas $cos x = 1/2$ : $x = π /3 + 2 k π$ ou $x = - π /3 + 2 k π$ .

VII. Top 4 pièges à éviter

Oublier le "+2k $π$ " dans les équations $cos x = a$ ou $sin x = a$ .
Confondre $sin (2 a)$ et $2 sin a$ .
Oublier la condition $∣ a ∣ \leq 1$ avant de résoudre $cos x = a$ .
Diviser par $cos x$ sans vérifier qu'il n'est pas nul (perte de solutions).

📈 Figure clé

Cercle trigonométrique

🔑 Formules clés à retenir

Identités fondamentales :

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$
$tan x = sin x / cos x$

Addition :

$cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$
$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$

Duplication :

$cos 2 a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a$
$sin 2 a = 2 sin a cos a$

Équations :

$cos x = a$ : $x = \pm α + 2 k π$
$sin x = a$ : $x = α + 2 k π$ ou $π - α + 2 k π$
$tan x = a$ : $x = α + k π$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Apprends les valeurs remarquables sin/cos/tan pour $0, π /6, π /4, π /3, π /2$ par cœur. Indispensable.
🎯 Pour les équations du type $a cos^{2} x + b cos x + c = 0$ : poser $X = cos x$ et résoudre l'équation du 2nd degré en $X$ .
🎯 Cercle trigo : ton meilleur ami pour visualiser les inéquations et compter les solutions sur un intervalle.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Trigonométrie 2

Type 1 : Résoudre l'équation $cos x = cos a$

Quand ? Toute équation se ramenant à une égalité de cosinus.

Ramène l'équation à la forme $cos x = cos a$ (identifie l'angle $a$ ).
Applique la formule : $x = a + 2 k π$ ou $x = - a + 2 k π$ , avec $k \in Z$ .
Si un intervalle est imposé, fais varier $k$ ( $k = 0, \pm 1, \dots$ ) pour garder les solutions valides.
Liste les solutions retenues dans l'intervalle.
Conclus l'ensemble des solutions.

Exemple éclair : $cos x = \frac{1}{2} = cos \frac{π}{3}$ donne $x = \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ .

Type 2 : Résoudre l'équation $sin x = sin a$

Quand ? Toute équation se ramenant à une égalité de sinus.

Mets l'équation sous la forme $sin x = sin a$ .
Applique : $x = a + 2 k π$ ou $x = π - a + 2 k π$ , avec $k \in Z$ .
Restreins à l'intervalle demandé en faisant varier $k$ .
Retiens les valeurs qui tombent dans l'intervalle.
Conclus l'ensemble solution.

Exemple éclair : $sin x = \frac{2}{2} = sin \frac{π}{4}$ donne $x = \frac{π}{4} + 2 k π$ ou $x = \frac{3 π}{4} + 2 k π$ .

Type 3 : Résoudre $tan x = tan a$

Quand ? Équation portant sur la tangente (penser au domaine).

Vérifie la condition d'existence : $cos x \neq = 0$ , soit $x \neq = \frac{π}{2} + k π$ .
Mets l'équation sous la forme $tan x = tan a$ .
Applique : $x = a + k π$ , avec $k \in Z$ (période $π$ ).
Sélectionne les solutions de l'intervalle demandé.
Conclus en respectant le domaine.

Exemple éclair : $tan x = 1 = tan \frac{π}{4}$ donne $x = \frac{π}{4} + k π$ .

Type 4 : Utiliser les formules d'addition

Quand ? On calcule une valeur exacte ( $cos \frac{π}{12}$ ...) ou on transforme une expression.

Décompose l'angle en somme/différence d'angles connus, ex. $\frac{π}{12} = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ .
Choisis la bonne formule : $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ , $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ .
Remplace par les valeurs remarquables.
Calcule et simplifie (mets au même dénominateur).
Donne le résultat sous forme exacte.

Exemple éclair : $cos \frac{π}{12} = cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{6 + 2}{4}$ .

Type 5 : Utiliser les formules de duplication

Quand ? On rencontre $cos 2 x$ , $sin 2 x$ ou on doit linéariser/simplifier.

Repère l'angle double et choisis la formule : $sin 2 x = 2 sin x cos x$ .
Pour le cosinus, sélectionne la forme utile : $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x$ .
Remplace pour faire disparaître l'angle double (ou le créer).
Simplifie l'expression obtenue.
Conclus selon ce qui est demandé.

Exemple éclair : Si $sin x = \frac{1}{3}$ alors $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ .

Type 6 : Résoudre une équation par changement de variable

Quand ? L'équation est un polynôme en $cos x$ (ou $sin x$ ), ex. $2 cos^{2} x - 3 cos x + 1 = 0$ .

Pose $X = cos x$ (ou $X = sin x$ ) avec la contrainte $- 1 \leq X \leq 1$ .
Résous l'équation du second degré en $X$ .
Élimine les racines hors de $[- 1; 1]$ .
Reviens à $x$ : résous $cos x = X_{1}$ , $cos x = X_{2}$ par les Types 1 ou 2.
Rassemble toutes les solutions.

Exemple éclair : $2 X^{2} - 3 X + 1 = 0$ donne $X = 1$ ou $X = \frac{1}{2}$ , d'où $cos x = 1$ ou $cos x = \frac{1}{2}$ .

Type 7 : Résoudre une inéquation trigonométrique

Quand ? On demande $cos x \geq m$ (ou $\leq$ , $>$ , $<$ ) sur un intervalle.

Résous d'abord l'équation associée $cos x = m$ pour trouver les bornes.
Place ces angles sur le cercle trigonométrique.
Repère l'arc où l'inégalité est vraie (projection sur l'axe des cosinus pour $cos$ , des sinus pour $sin$ ).
Lis l'intervalle solution sur le cercle.
Conclus l'ensemble des solutions dans l'intervalle imposé.

Exemple éclair : Sur $[0; 2 π [$ , $cos x \geq \frac{1}{2}$ a pour solution $[0; \frac{π}{3}] \cup [\frac{5 π}{3}; 2 π [$ .

Trigonométrie 2 — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

13 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 13 corrigés

Exercices Faciles

6 exercices

Équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$

Facile

Énoncé

Résoudre dans

R

l'équation

cos x = \frac{1}{2}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Formule d'addition

Facile

Énoncé

Calculer

cos (\frac{5 π}{12})

en remarquant que

\frac{5 π}{12} = \frac{π}{4} + \frac{π}{6}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équation cos = a

Facile

Énoncé

Résoudre dans

[0, 2 π]

cos x = - \frac{1}{2}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
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Correction détaillée

Équation sin = a

Facile

Énoncé

Résoudre dans

R

2 sin x = 3

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équation $\tan(x) = a$

Facile

Énoncé

Résoudre dans

R

l'équation

tan (x) = 1

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Valeurs remarquables

Facile

Énoncé

Donner les valeurs exactes de

cos (\frac{π}{6})

sin (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{3})

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

7 exercices

Équation $a\cos x + b\sin x = c$

Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans

[0, 2 π]

cos x + 3 sin x = 1

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Identité fondamentale

Intermédiaire

Énoncé

Sachant que

cos x = \frac{2}{3}

avec

x \in] - \frac{π}{2}, 0 [

, calculer

sin x

tan x

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équation produit

Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans

[0, 2 π]

(2 cos x - 1) (sin x + 1) = 0

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Identité utilisant duplication

Intermédiaire

Énoncé

Simplifier

A = \frac{sin ( 2 x )}{1 + cos ( 2 x )}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équation du 2nd degré en cos

Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans

R

l'équation

2 cos^{2} x + cos x - 1 = 0

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équation $\cos(2x) = ...$

Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans

[0, 2 π]

l'équation

cos (2 x) = \frac{1}{2}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équation factorisée

Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans

[0, 2 π]

sin (x) \cdot cos (x) = 0

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

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Trigonométrie 2

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I. Rappels essentiels

Valeurs remarquables (à connaître par cœur)

Relations fondamentales

II. Formules d'addition

III. Formules de duplication

IV. Équations trigonométriques fondamentales

Équation cosx=a

Équation sinx=a

Équation tanx=a

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VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 4 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Trigonométrie 2

Type 1 : Résoudre l'équation cosx=cosa

Type 2 : Résoudre l'équation sinx=sina

Type 3 : Résoudre tanx=tana

Type 4 : Utiliser les formules d'addition

Type 5 : Utiliser les formules de duplication

Type 6 : Résoudre une équation par changement de variable

Type 7 : Résoudre une inéquation trigonométrique

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Exercices Faciles

Équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$

Formule d'addition

Équation cos = a

Équation sin = a

Équation $\tan(x) = a$

Valeurs remarquables

Exercices Intermédiaires

Équation $a\cos x + b\sin x = c$

Identité fondamentale

Équation produit

Identité utilisant duplication

Équation du 2nd degré en cos

Équation $\cos(2x) = ...$

Équation factorisée

Exercices supplémentaires

—

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Équation $cos x = a$

Équation $sin x = a$

Équation $tan x = a$

Type 1 : Résoudre l'équation $cos x = cos a$

Type 2 : Résoudre l'équation $sin x = sin a$

Type 3 : Résoudre $tan x = tan a$