Dérivation — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Nombre dérivé et tangente

Définition

Soit f définie sur un intervalle I et $a \in I$ . On dit que f est dérivable en a si la limite suivante existe et est finie :

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a.

Interprétation géométrique

Si f est dérivable en a, la courbe $C_{f}$ admet en A(a ; f(a)) une tangente d'équation :

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

$f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de cette tangente.

Dérivabilité et continuité

Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse (ex. : $x \mapsto ∣ x ∣$ est continue en 0 mais non dérivable).

II. Dérivabilité à droite / à gauche

Définitions

$f_{d}^{'} (a) = x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$
$f_{g}^{'} (a) = x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

f est dérivable en a $\Leftrightarrow$ $f_{d}^{'} (a)$ et $f_{g}^{'} (a)$ existent et sont égales.

Exemple : $f (x) = ∣ x ∣$ en 0. $f_{d}^{'} (0) = 1$ et $f_{g}^{'} (0) = - 1$ $\Rightarrow$ f non dérivable en 0. La courbe présente un point anguleux.

III. Dérivées des fonctions usuelles

Tableau à connaître

$f (x)$	$f^{'} (x)$	Domaine de dérivabilité
k (constante)	0	$R$
x	1	$R$
$x^{n}$ (n $\in$ $N^{*}$ )	$n \cdot x^{n - 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$\frac{1}{x ^{n}}$	$- \frac{n}{x ^{n + 1}}$	$R^{*}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$] 0, + \infty [$
$sin (x)$	$cos (x)$	$R$
$cos (x)$	$- sin (x)$	$R$
$tan (x)$	$1 + tan^{2} (x) = \frac{1}{c o s ^{2} ( x )}$	$R ∖ {\frac{π}{2} + k π}$

IV. Opérations sur les dérivées

Règles de calcul

Soient u et v deux fonctions dérivables sur I, et $λ \in R$ .

$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$
$(λ \cdot u)^{'} = λ \cdot u^{'}$
$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$
$(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ (si $v \neq = 0$ )
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}$ (si $v \neq = 0$ )
$(u^{n})^{'} = n \cdot u^{'} \cdot u^{n - 1}$
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (si $u > 0$ )

Dérivée d'une composée

Soit g dérivable en f(a) et f dérivable en a. Alors $g \circ f$ est dérivable en a et :

$(g \circ f)^{'} (a) = g^{'} (f (a)) \cdot f^{'} (a)$

Cas particuliers :

$(sin (u))^{'} = u^{'} \cdot cos (u)$ $(cos (u))^{'} = - u^{'} \cdot sin (u)$
$(tan (u))^{'} = u^{'} \cdot (1 + tan^{2} (u)) = \frac{u ^{'}}{c o s ^{2} ( u )}$

V. Dérivée et sens de variation

Théorème fondamental

Soit f dérivable sur un intervalle I.

$f^{'} \geq 0$ sur I $\Leftrightarrow$ f croissante sur I
$f^{'} \leq 0$ sur I $\Leftrightarrow$ f décroissante sur I
$f^{'} = 0$ sur I $\Leftrightarrow$ f constante sur I
$f^{'} > 0$ sur I (sauf points isolés) $\Rightarrow$ f strictement croissante sur I

Étude des variations

Calculer $f^{'} (x)$ .
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ (factoriser, étudier discriminant, etc.).
Dresser le tableau de variations en précisant les limites aux bornes.
En déduire les extrema éventuels.

VI. Extrema locaux

Condition nécessaire

Si f admet un extremum local en a (a intérieur à I) et f est dérivable en a, alors $f^{'} (a) = 0$ .

Réciproque fausse : $f (x) = x^{3}$ a $f^{'} (0) = 0$ sans que 0 soit un extremum.

Condition suffisante (changement de signe)

Si $f^{'} (x)$ change de signe en a :

+ puis − $\Rightarrow$ maximum local en a
− puis + $\Rightarrow$ minimum local en a

VII. Dérivées d'ordre supérieur

$f^{''} = (f^{'})^{'}$ : dérivée seconde
$f^{''} > 0$ sur I $\Rightarrow$ f est convexe (courbe tournée vers le haut)
$f^{''} < 0$ sur I $\Rightarrow$ f est concave (courbe tournée vers le bas)
Un point d'inflexion est un point où $f^{''}$ s'annule en changeant de signe

VIII. Approximation affine (tangente)

Développement au premier ordre

Si f est dérivable en a, alors au voisinage de a :

$f (a + h) \approx f (a) + h \cdot f^{'} (a)$

pour h petit. La courbe est proche de sa tangente au voisinage du point de tangence.

📈 Figure clé

Tangente à

f (x) = x^{2}

au point d’abscisse

1

(pente

f^{'} (1) = 2

)

🔑 Formules clés à retenir

Nombre dérivé : $f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$
Tangente : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$
Usuelles : $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ · $(1/ x)^{'} = - 1/ x^{2}$ · $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ · $(sin)^{'} = cos$ · $(cos)^{'} = - sin$
Opérations : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ · $(u / v)^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ · $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$
Composée : $(g \circ f)^{'} = f^{'} \cdot (g^{'} \circ f)$
Variations : $f^{'} \geq 0 \Leftrightarrow f$ croissante · $f^{'} \leq 0 \Leftrightarrow f$ décroissante
Extremum local : $f^{'} (a) = 0$ et changement de signe de $f^{'}$
Dérivabilité $\Rightarrow$ continuité (réciproque fausse)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

f'(a) = 0 ≠ extremum : f'(a) = 0 est une condition nécessaire mais pas suffisante pour un extremum. Il faut vérifier le changement de signe de f'. Ex : f(x) = x³ a f'(0) = 0 mais 0 est un point d'inflexion, pas un extremum.

❌

Dérivée de u/v : (u/v)' = (u'v − uv')/v². L'ordre est important ! "u prime v MOINS u v prime" — pas l'inverse. Une erreur d'ordre change le signe.

❌

Dérivabilité ≠ continuité : dérivable ⇒ continue, mais continue ⇒ pas forcément dérivable. La valeur absolue f(x) = |x| est continue en 0 mais pas dérivable.

🟢 Astuces de pros

✅

Équation de la tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a). Toujours calculer f(a) et f'(a) d'abord, puis substituer.

✅

Dérivée d'une composée f(g(x)) : = g'(x) · f'(g(x)). "Dérivée de l'extérieur × dérivée de l'intérieur". Ex : (sin(x²))' = 2x·cos(x²).

💡

Tableau de variations : le signe de f' donne le sens de variation. Met f'(x) = 0, étudie le signe de f' sur chaque intervalle, puis déduis les variations et les extremums locaux.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Dérivation

Type 1 : Calculer le nombre dérivé par la définition

Quand ? « Montrer que $f$ est dérivable en $x_{0}$ » ou « calculer $f^{'} (x_{0})$ par la définition (taux d'accroissement) ».

Écris le taux d'accroissement $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ (ou $\frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ ).
Simplifie : factorise par $(x - x_{0})$ ou utilise la quantité conjuguée s'il y a une racine.
Calcule la limite quand $x \to x_{0}$ (ou $h \to 0$ ).
Si la limite est finie, c'est $f^{'} (x_{0})$ et $f$ est dérivable en $x_{0}$ .

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ : $x \to x_{0} lim \frac{x ^{2} - x _{0}^{2}}{x - x _{0}} = x \to x_{0} lim (x + x_{0}) = 2 x_{0}$ , donc $f^{'} (x_{0}) = 2 x_{0}$ .

Type 2 : Calculer une dérivée avec les formules usuelles

Quand ? On demande $f^{'} (x)$ d'une expression algébrique (somme, produit, quotient, puissance).

Mémorise : $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ , $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ , $(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$ .
Applique les règles : $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ , $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
Identifie $u$ , $v$ , calcule $u^{'}$ , $v^{'}$ à part, puis assemble.
Réduis et précise le domaine de dérivabilité.

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ : $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

Type 3 : Dériver une fonction composée

Quand ? Présence d'une « fonction dans une fonction » : $u$ , $u^{n}$ , $sin (u)$ , $cos (u)$ .

Repère la fonction intérieure $u (x)$ et calcule $u^{'} (x)$ .
Applique la formule adaptée : $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ , $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ , $(sin u)^{'} = u^{'} cos u$ , $(cos u)^{'} = - u^{'} sin u$ .
Remplace $u$ et $u^{'}$ par leurs expressions, puis simplifie.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2} + 1$ : $u = x^{2} + 1$ , $u^{'} = 2 x$ , donc $f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

Type 4 : Équation de la tangente

Quand ? « Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $x_{0}$ ».

Calcule $f (x_{0})$ (l'ordonnée du point de contact).
Calcule $f^{'} (x)$ puis $f^{'} (x_{0})$ (le coefficient directeur).
Écris la formule : $(T) : y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .
Développe et réduis pour obtenir $y = a x + b$ .

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ en $x_{0} = 1$ : $f (1) = 1$ , $f^{'} (x) = 2 x$ , $f^{'} (1) = 2$ , donc $(T) : y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

Type 5 : Étudier les variations à l'aide de la dérivée

Quand ? « Étudier les variations de $f$ » ou « dresser le tableau de variations ».

Calcule $f^{'} (x)$ et précise son domaine.
Étudie le signe de $f^{'} (x)$ (résous $f^{'} (x) = 0$ , puis tableau de signes).
Applique la règle : $f^{'} > 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f^{'} < 0 \Rightarrow f$ décroissante.
Dresse le tableau de variations en reportant le signe de $f^{'}$ et les flèches.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2} - 2 x$ : $f^{'} (x) = 2 x - 2$ , $f^{'} (x) > 0$ pour $x > 1$ . $f$ décroît sur $] - \infty; 1]$ , croît sur $[1; + \infty [$ .

Type 6 : Déterminer les extremums

Quand ? « Montrer que $f$ admet un extremum » ou « trouver le maximum / minimum de $f$ ».

Résous $f^{'} (x) = 0$ pour trouver les points critiques $x_{0}$ .
Étudie le changement de signe de $f^{'}$ autour de $x_{0}$ .
Si $f^{'}$ passe de $+$ à $-$ : maximum local en $x_{0}$ ; de $-$ à $+$ : minimum local.
Calcule la valeur de l'extremum $f (x_{0})$ et conclus.

Exemple éclair : $f (x) = - x^{2} + 4 x$ : $f^{'} (x) = - 2 x + 4 = 0$ en $x = 2$ , $f^{'}$ passe de $+$ à $-$ : maximum $f (2) = 4$ .

Type 7 : Étudier la dérivabilité en un point (à gauche / à droite)

Quand ? Fonction définie par morceaux, présence de ou de valeur absolue ; « $f$ est-elle dérivable en $x_{0}$ ? ».

Calcule le nombre dérivé à gauche : $f_{g}^{'} (x_{0}) = x \to x_{0}^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ .
Calcule le nombre dérivé à droite : $f_{d}^{'} (x_{0}) = x \to x_{0}^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ .
Si $f_{g}^{'} (x_{0}) = f_{d}^{'} (x_{0})$ (et fini) : $f$ est dérivable en $x_{0}$ . Sinon, non (point anguleux).
Si une limite est infinie : tangente verticale en ce point.

Exemple éclair : $f (x) = ∣ x ∣$ en $0$ : $f_{g}^{'} (0) = - 1$ et $f_{d}^{'} (0) = 1$ ; $- 1 \neq = 1$ donc $f$ n'est pas dérivable en $0$ .

Dérivation — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

68 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 68 corrigés

Exercices Faciles

24 exercices

Calculer une dérivée (fonctions usuelles)

Facile

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5 x - 7$
$g (x) = (2 x + 1) (x^{2} - 3)$
$h (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$
$k (x) = 3 x + 4$
$m (x) = sin (2 x) + cos (x)$

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Dérivation

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Définition

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Dérivabilité et continuité

II. Dérivabilité à droite / à gauche

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III. Dérivées des fonctions usuelles

Tableau à connaître

IV. Opérations sur les dérivées

Règles de calcul

Dérivée d'une composée

V. Dérivée et sens de variation

Théorème fondamental

Étude des variations

VI. Extrema locaux

Condition nécessaire

Condition suffisante (changement de signe)

VII. Dérivées d'ordre supérieur

VIII. Approximation affine (tangente)

Développement au premier ordre

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Dérivation

Type 1 : Calculer le nombre dérivé par la définition

Type 2 : Calculer une dérivée avec les formules usuelles

Type 3 : Dériver une fonction composée

Type 4 : Équation de la tangente

Type 5 : Étudier les variations à l'aide de la dérivée

Type 6 : Déterminer les extremums

Type 7 : Étudier la dérivabilité en un point (à gauche / à droite)

Dérivation — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Calculer une dérivée (fonctions usuelles)

Équation de tangente

Sens de variation

Dérivée de composées simples

Dérivée d'un produit de fonctions

Équation de la tangente en un point

Calcul de dérivées de fonctions usuelles

Variations d'une fonction polynôme de degré 3

Variations et tableau d'un polynôme du troisième degré

Calcul de la dérivée d'une fonction polynomiale

Dérivée d'une fonction constante

Dérivée d'une fonction rationnelle simple

Dérivée d'une fonction exponentielle

Calcul du nombre dérivé

Tangente à la courbe

Dérivée d'une fonction constante

Tangente à une courbe

Dérivée d'une fonction polynomiale

Calcul du nombre dérivé

Dérivée d'une fonction constante

Tangente à une courbe

Dérivée d'une fonction constante

Dérivée d'une fonction affine

Dérivée d'une fonction linéaire

Exercices Intermédiaires

Dérivabilité en un point

Étude complète d'une fonction rationnelle

Tangente parallèle / perpendiculaire

Problème d'optimisation

Dérivée d'une composée : (2x−1)⁵

Sens de variation via la dérivée : f(x) = x³ − 3x

Dérivabilité d'une fonction prolongée et tangente

Dérivabilité à gauche et à droite en un point de raccordement

Étude complète d'une fonction avec racine carrée

Calcul de limites à l'aide du nombre dérivé

Dérivabilité en un point, tangente et approximation affine

Dérivabilité à droite et à gauche d'une fonction définie par morceaux

Calcul de dérivées (produit, quotient, racine, puissance)

Dérivabilité à droite de 0 et variations de $x-2\sqrt{x}$